מספר

מספר הוא עצם מתמטי מופשט, שבמשמעותו המקובלת משמש לציון כמות.

ייצוג של מספרים

ערך מורחב – שיטות ספירה

השיטה המקובלת להצגת מספרים היא השיטה המצבית, המציגה כל מספר באמצעות רצף ספרות לפי בסיס מוסכם. הבסיס המקובל לספירה ביומיום הוא הבסיס העשרוני המורכב מהספרות 0–9. במחשבים מקובלות שיטות ספירה אחרות, שבהן הבסיסים הם: 2 – בסיס בינארי, 8 – בסיס אוקטלי ו-16 – בסיס הקסדצימלי.

שיטות קדומות יותר להצגת מספרים הן, בין השאר, ספרות עבריות וספרות רומיות. המספר 613 בבסיס עשרוני נכתב תרי"ג בספרות עבריות ו-DCXIII בספרות רומיות. צורות ההצגה השונות אינן משנות את מהותו של המספר, אך הן משפיעות על האופן שבו מתבצעות הפעולות האריתמטיות.

על שמות של מספרים ראו בערך שמות מספרים.

התפתחות מושג המספר

המתמטיקה היוונית הכירה בשני מושגים נבדלים: מספר, שהוא בהכרח מספר טבעי במשמעותו דהיום, וגודל – אורך של קטע – שמנקודת מבט מודרנית יכול לייצג כל מספר ממשי חיובי. ההתאמה בין שני המושגים התבססה על ההנחה הסמויה, שכל קטע אפשר להכפיל בשלם כדי לקבל שלם; כלומר, שכל אורך הוא למעשה מספר רציונלי. המשבר שעברה המתמטיקה הפיתגוראית כאשר התברר שישנם מספרים לא רציונליים (כדוגמת השורש הריבועי של 2) חלף בלי להותיר חותם על תפיסת מושג המספר, וכך נותרה ההבחנה היוונית בעינה עד סוף המאה ה-15.

בתחילת המאה ה-16, בהשפעת המתמטיקאים ההודים, הפך האפס בהדרגה למספר לגיטימי. המספרים השליליים רכשו את מעמדם העצמאי במהלך המאות ה-16 וה-17; ב־1591 סיכם פרנסואה וייט בספר את התגליות של ג'ירולמו קרדאנו, ניקולו טרטליה ואחרים על פתרונן של משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וחולל מהפכה חשובה בסימון המתמטי, כשהכניס לשימוש אותיות במקום פרמטרים (ולא רק במקום נעלמים, כפי שהיה נהוג עד אז). עם זאת, האותיות עדיין מייצגות מספרים חיוביים בלבד. גם דקארט, שהנהיג את ההפרדה (המתודית) בין אותיות כ-a,b,c לציון פרמטרים ואותיות כ-x,y,z לציון משתנים, מניח מאליו שכל משתנה חייב לייצג מספר חיובי.

החידוש שבפתרון משוואות ממעלה גבוהה אילץ את המתמטיקאים בני התקופה להכיר בקיומם של מספרים מרוכבים, ויחד איתם גם במספרים ממשיים שליליים. אצל ניוטון, ובמיוחד לייבניץ, שהיה אשף הסימון הקולע, כבר מתקיימים המספרים השליליים לצד החיוביים, ללא כל הבחנה. עד סוף המאה ה-17 נכנסת גישתו של וייט לשימוש כולל, כאשר אותיות יכולות לייצג כל מספר, וה"מספר" מקבל את משמעותו הרחבה ביותר, מספר מרוכב.

סוגים של מספרים

דיאגרמת ון המדגימה את יחסי הכלה בין קבוצות המספרים העיקריות.

אין במתמטיקה הגדרה אחידה למספר ולרוב המילה משמשת לציון איבר באחת הקבוצות הבאות:

• מספרים טבעיים: אוסף המספרים 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . יש הכוללים בתחילת המספרים הטבעיים את המספר 0. נהוג לסמן קבוצה זו באות $\mathbb {N}$.
• מספרים שלמים: הקבוצה המכילה בנוסף למספרים הטבעיים גם את אוסף המספרים השליליים 1-, 2-, 3-, ... ואת 0. נהוג לסמן קבוצה זו באות $\mathbb {Z}$.
• מספרים רציונליים: כל המספרים שניתן לבטא אותם כמנה של שני מספרים שלמים, כאשר המכנה שונה מ-0. נהוג לסמן קבוצה זו באות $\mathbb {Q}$. בקבוצה זו נכללים המספרים השלמים, וכן השברים, לדוגמה ${\frac {1}{2}},{\frac {7}{5}}$.
• מספרים ממשיים: קבוצה שבה נכללים כל המספרים המהווים אורך (מכוון) של קטע. אלו כוללים את המספרים הרציונליים ואת המספרים האי-רציונליים. נהוג לסמן קבוצה זו באות $\mathbb {R}$. המספר פאי הוא דוגמה למספר ממשי אי-רציונלי.
• מספרים מרוכבים: מספרים מהצורה $\,a+bi$, כאשר $\,a,b$ הם מספרים ממשיים, ו-$\,i^{2}=-1$. נהוג לסמן קבוצה זו באות $\mathbb {C}$. נהוג להציגם כנקודות במישור המרוכב. מספרים מהצורה $\,bi$ קרויים מספרים מדומים.
• קווטרניונים: מספרים מהצורה $\ a+ib+jc+kd$ כאשר $\ a,b,c,d$ הם מספרים ממשיים, ו-$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,$.

את המספרים המרוכבים ניתן לחלק לשתי קבוצות:

• מספרים אלגבריים: מספרים המהווים שורש של פולינום שמקדמיו הם מספרים רציונליים, כגון 1, השורש הריבועי של 2 ו-$i$.
• מספרים טרנסצנדנטיים: מספרים שאינם אלגבריים, כגון π ו-e.

ראו גם

• רשימת מספרים שיש עליהם ערך
• מערכות מספרים
• מספר ראשוני
• אריתמטיקה
• התפתחות קוגניטיבית – תפיסת המספרים
• שמות של מספרים לא מוגדרים

לקריאה נוספת

• שבתאי אונגורו, "מבוא לתולדות המתמטיקה", חלק ב', פרק א': "הרחבת מושג המספר".
• ז'ורז' יפרח, סְפָרוֹת וּמִסְפָּרִים: היסטוריה של המצאה גאונית. תרגום: עדה ירדני, ירושלים: הוצאת כרטא 1990.
• טימותי גוורס, מתמטיקה, ידיעות ספרים, 2007, הפרק "מספרים והפשטה", עמ' 32–50.

• Leo Corry, A Brief History of Numbers, Oxford University Press, 2015
• Midhat Gazalé, Number: From Ahmes to Cantor, Princeton University Press, 2000

קישורים חיצוניים

• דוד גילת, על השורש הריבועי של שתיים ושורשים אחרים, מיזם "כדאי לדעת" של אוניברסיטת תל אביב
• מספר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מספר, באתר MathWorld (באנגלית)
• תפיסת מספר, דף שער בספרייה הלאומית