„Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés

A [[matematika|matematikában]] a '''Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség''' (illetve angol nyelvterületen ''Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség'', az orosz matematikai irodalomban pedig ''Cauchy–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség'') [[Augustin Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]ról, [[Hermann Amandus Schwarz]]ról és [[Viktor Jakovlevics Bunyakovszkij]]ról elnevezett [[Egyenlőtlenség (matematika)|egyenlőtlenség]], mely gyakran használatos aaz [[skalárszorzatosEuklideszi tér (lineáris algebra)|euklideszi]] és [[Hilbert-tér|Hilbert-terek]] elméletében, a [[végtelen sorok]] és szorzatok integrálásának elméletében és a [[valószínűség-számításvalószínűségszámítás]]ban.

Legáltalánosabb formában a (valós vagy komplex számtest feletti) ''V'' skalárszorzatoseuklideszi [[vektortér]] tetszőleges ''x'' és ''y'' elemének <math>\langle x,y\rangle</math> skaláris szorzata [[abszolútértékabszolút érték]]ének felső becslésére szolgál:

SkalárszorzatosEuklideszi terekben az alábbi kitüntetett [[Norma (matematika)|norma]] vezethető be:

Ezt a jelölést használni is fogjuk. Minthogy az egyenlőtlenség az ''y=0'' esetben fennáll, feltehetjük, hogy <''y'', ''y''> nem nulla. Legyen λ tetszőleges valós (vagy komplex) szám. Ekkor

= \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \overline\lambda \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle. </math>

:<math> \lambda = \langle y,x,y \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}</math>

A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség, attól függően, hogy a ''V'' skalárszorzatos tér mi,választásától függően speciális alakot ölthet.

Az '''R'''ⁿ [[euklideszi tér (lineáris algebra)|euklideszi vektortér]] esetén (ezt az algebrai megközelítés miatt ''diszkrét'' esetnek is nevezhetjük) az állítás a következőképpen néz ki.

'''Tétel.''' LegyenLegyenek <math>a_1,\dots,a_n</math> és <math>b_1,\dots,b_n</math> valós számok véges sorozatai. Ekkor

<center><math>\big| a_1b_1+\cdots+a_nb_n\big|\leq \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}</math></center>

<center><math>\left(\sum a^2_i\right)\left(\sum b^2_i\right)-\left(\sum a_ib_i\right)^2=\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2</math></center>

'''Megjegyzés.''' Természetesen ezesetbenez esetben nem kell feltétlenül az '''R'''ⁿ-beli skalárszorzásként felfognunk az egyenlőtlenség bal oldalát. Tekinthetünk az egyenlőtlenségre úgy is, mint tetszőleges a₁, a₂, …, a_n illetve b₁, b₂, …, b_n valós számokra vonatkozó relációra.

A négyzetesen integrálható valós-valós függvények terének (L²) esetén az analízis egy fontos egyenlőtlenségét kapjuk (nevezhetjük így ezt az egyenlőtlenség ''folytonos!'' alakjának). Szemléletesség kedvéért megjegyezzük, hogy ebben az alakban az összeadás helyett integrálás áll, mely valóban azt sugallja, hogy analízisbananalízisben alkalmazott variáns úgy keletkezik az előző, diszkrét esetből, hogy a véges összeadást, annak végtelen határátmenetével, az integrállal helyettesítjük.

Amennyiben ''x'' és ''y'' a háromdimenziós koordinátatér vektorait jelölivektorai, akkor a fenti második bizonyítás a következő egyenlőséget adja:

:<math>|x|^2|y|^2=|x|^2|y|^2(\,\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)=|x|^2|y|^2\,\cos^2 \alpha + |x|^2|y|^2sin2\sin^2 \alpha</math>

ahol az utolsó egyenlőség után az első tag a skaláris szorzat, a második tag a vektoriális szorzat nagyságának négyzete. Itt tehát felhasználtuk, hogy

Az egyenlőtlenség általános formája a [[Hölder-egyenlőtlenség]]: haLegyenek

<math>a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n</math> nemnegatívtetszőleges valóskomplex számok,. Ha <math>p,q>1</math>, továbbá <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1</math> teljesül, akkor

<center><math>\sum^n_{i=1}|a_ib_i|\leq\left(\sum^n_{i=1}a|a_i|^p_ip \right)^{1/p}\left(\sum^n_{i=1}b|b_i|^q_iq\right)^{1/q}.

A sorozatokra vonatkozó variációt Cauchy [[1821]]-ben publikálta ''Cours d'Analyse Algébrique'' című könyvében. Az integrálos verziót Bunyakovszkij [[1859]]-ben a Szentpétervári Tudományos Akadémia Közleményeiben publikálta, hivatkozva egykori tanára, Cauchy egyenlőtlenségére, azt jólismertnekjól ismertnek nevezve, abból vezetve le. A GöttingábanGöttingenben dolgozó Schwarz [[1885]]-ben újra bebizonyította az integrálos formát.