Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat (más néven külső szorzat vagy keresztszorzat) háromdimenziós vektorokkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük (7 dimenziós esetben is létezik vektoriális szorzat, ami azonban kevésbé használatos).

Egy paralelogramma területe mint két vektor vektoriális szorzatának nagysága

Jelölése: a×b vagy [ab] (szóban: a kereszt b), hogy megkülönböztessük a skaláris szorzattól. A kereszt jelölés a német és az angol szakirodalomban is használatos. Az olasz és a francia szakirodalom a ${\vec {a}}\wedge {\vec {b}}$, az orosz az $[{\vec {a}}\ {\vec {b}}]$ vagy $[{\vec {a}},{\vec {b}}]$ jelölést részesíti előnyben.

Az ${\vec {a}}\wedge {\vec {b}}$ jelölés és a külső szorzat elnevezés egy másik műveletre is vonatkozhat, ami bivektort rendel a két vektorhoz. Lásd még: Graßmann-algebra.

Értelmezése:

Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével. Másként,

$|\mathbf {c} |=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )$

1. Az eredményvektor nagysága (abszolútértéke, hossza) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük szinuszának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°).
2. Az eredményvektor állása merőleges mind a-ra, mind b-re (az a és b vektorok síkjára).
3. Az eredményvektor iránya olyan, hogy az a, b és c jobbsodrású vektorrendszert alkot.

(Egy a, b, c vektorrendszert akkor hívunk jobbsodrásúnak, ha a jobb kezünk beállítható úgy, hogy hüvelykujjunk a-val, mutatóujjunk b-vel, középső ujjunk pedig (az előbbi két ujjunkra merőlegesen) c-vel azonos irányba mutat.)

Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:

$c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

Vagy rövidebben: $c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$, ahol $\varepsilon _{ijk}$ a Levi-Civita-szimbólumot jelenti.

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nullvektor, ha párhuzamos állásúak, hiszen ekkor a bezárt 0° vagy 180°, amiknek szinusza 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90° szinusza 1).

A fizikában számos helyen megjelenik, például az elektromágnesességben a Lorentz-erő vagy a Poynting-vektor kiszámolására. A klasszikus mechanikában a forgatómomentum és a forgatóimpulzus, vagy virtuális erők esetén, például a Coriolis-erő esetén.

A vektoriális szorzás és a keresztszorzás elnevezéseket először Josiah Willard Gibbs fizikus használta először; a külső szorzás kifejezés Hermann Graßmanntól származik.

Tulajdonságok

• $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c}$, tehát az összeadásra disztributív
• $(\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )=\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$
• $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} \neq \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$, tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi-azonosságot: $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0$. Ez a linearitással és disztributivitással együtt azt eredményezi, hogy R³ a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással Lie-algebrát képez.

Bilinearitás

A vektoriális szorzat bilineáris, azaz minden $\alpha$, $\beta$ és $\gamma$ valós számra, illetve ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ és ${\vec {c}}$ vektorra teljesül, hogy

${\begin{aligned}{\vec {a}}\times (\beta \,{\vec {b}}+\gamma \,{\vec {c}})=\beta \,({\vec {a}}\times {\vec {b}})+\gamma \,({\vec {a}}\times {\vec {c}})\,,\\(\alpha \,{\vec {a}}+\beta \,{\vec {b}})\times {\vec {c}}=\alpha \,({\vec {a}}\times {\vec {c}})+\beta \,({\vec {b}}\times {\vec {c}})\,.\end{aligned}}$

Következik a skalárral való szorzásra:

$\ {\vec {a}}\times (\beta \,{\vec {b}})=\beta \,({\vec {a}}\times {\vec {b}})=(\beta \,{\vec {a}})\times {\vec {b}}\,,$

$\ (\alpha \,{\vec {a}})\times (\beta \,{\vec {b}})=\alpha \,\beta \,({\vec {a}}\times {\vec {b}})=(\beta \,{\vec {a}})\times (\alpha \,{\vec {b}}).$

Alternáló tulajdonság

Egy vektor önmagával vagy bármely skalárszorosával vett szorzata a nullvektor:

${\vec {a}}\times r{\vec {a}}={\vec {0}}$.

A bilineáris leképezések, melyekre ez a tulajdonság is teljesül, alternálók.

Antikommutativitás

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-\,{\vec {b}}\times {\vec {a}}\,.$, tehát antikommutatív,

ami következik a bilineáris és az alternáló tulajdonságból:

${\vec {0}}\,\mathrel {\stackrel {(1)}{=}} ({\vec {a}}+{\vec {b}})\times ({\vec {a}}+{\vec {b}})\mathrel {\stackrel {(2)}{=}} {\vec {a}}\times {\vec {a}}+{\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {b}}\times {\vec {a}}+{\vec {b}}\times {\vec {b}}\mathrel {\stackrel {(1)}{=}} {\vec {0}}+{\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {b}}\times {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {b}}\times {\vec {a}}$

minden ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{3}$ vektorra.

Kapcsolat a determinánssal

Minden ${\vec {v}}$ vektor esetén teljesül, hogy:

${\vec {v}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=\operatorname {det} ({\vec {v}},{\vec {a}},{\vec {b}})$.

ahol a pont a skaláris szorzást jelöli. Ez a tulajdonság egyértelműen meghatározza a skaláris szorzást:

Minden ${\vec {v}}$ vektor esetén fennáll, hogy tetszőleges ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ vektorokhoz pontosan egy ${\vec {c}}$ vektor létezik úgy, hogy ${\vec {v}}\cdot {\vec {c}}=\operatorname {det} ({\vec {v}},{\vec {a}},{\vec {b}})$ minden ${\vec {v}}$ vektorra. Ez a ${\vec {c}}$ vektor egyenlő az ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$ vektoriális szorzattal.

Graßmann-azonosság

Három vektor ismételt vektoriális szorzatára teljesül a Graßmann-azonosság, más néven Graßmann kifejtési tétele, azaz

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,{\vec {c}}$

illetve

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {b}}\ -({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})\,{\vec {a}},$

A fizikában gyakran az

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,,$

írásmódot használják. Ez alapján a képletet nevezik BAC-CAB-képletnek is. Indexes írásmód esetén a Graßmann-azonosság:

$\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}$.

ahol $\varepsilon _{ijk}$ a Levi-Civita-szimbólum, és $\delta _{ij}$ a Kronecker-delta.

Lagrange-azonosság

Két vektoriális szorzat skaláris szorzatára teljesül, hogy:

${\begin{aligned}({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {d}})&=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})({\vec {b}}\cdot {\vec {d}})-({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})({\vec {a}}\cdot {\vec {d}})\\&=\det {\begin{pmatrix}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})&({\vec {a}}\cdot {\vec {d}})\\({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})&({\vec {b}}\cdot {\vec {d}})\end{pmatrix}}\;.\end{aligned}}$

A norma négyzetére kapjuk, hogy:

${\begin{aligned}|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|^{2}&=|{\vec {a}}|^{2}|{\vec {b}}|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}\\&=|{\vec {a}}|^{2}|{\vec {b}}|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )\\&=|{\vec {a}}|^{2}|{\vec {b}}|^{2}\sin ^{2}\theta \;,\end{aligned}}$

tehát a vektoriális szorzat normája:

$|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\sin \theta \;.$

Mivel $\theta$ az ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ vektorok közrezárt szöge, így mindig 0° és 180° közötti, azért $0\leq \sin \theta \leq 1.$. Innen a becslés:

$|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|\leq |{\vec {a}}||{\vec {b}}|$.

Vektoriális szorzatok vektoriális szorzata

${\begin{aligned}({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {c}}\times {\vec {d}})&={\vec {b}}\cdot \det({\vec {a}},{\vec {c}},{\vec {d}})-{\vec {a}}\cdot \det({\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {d}})\\&={\vec {c}}\cdot \det({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {d}})-{\vec {d}}\cdot \det({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})\end{aligned}}$

Speciális esetek:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {b}}\cdot \det({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {a}}\times {\vec {c}})={\vec {a}}\cdot \det({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {0}}$

Kifejtési tétel

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

Négyesszorzat:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=-\mathbf {d} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )+\mathbf {c} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )$, ahol $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ módon a vegyes szorzat van jelölve.

Lagrange-azonosság:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )$

$\mathbf {a} ^{(i)}$ (i=1,2,3) vektorok $\mathbf {A} ^{(i)}$ (i=1,2,3) reciprok rendszerét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:

$\mathbf {A} ^{(1)}={\frac {1}{v}}(\mathbf {a} ^{(2)}\times \mathbf {a} ^{(3)})$

$\mathbf {A} ^{(2)}={\frac {1}{v}}(\mathbf {a} ^{(3)}\times \mathbf {a} ^{(1)})$

$\mathbf {A} ^{(3)}={\frac {1}{v}}(\mathbf {a} ^{(1)}\times \mathbf {a} ^{(2)})$, ahol $v=(\mathbf {a} ^{(1)},\mathbf {a} ^{(2)},\mathbf {a} ^{(3)})$

Kiszámítása a derékszögű Descartes-féle koordináta-rendszerben

Jobbfogású Descartes-féle koordináta-rendszerben, illetve $\mathbb {R} ^{3}$ valós térben, a szabványos skalárszorzással és a szabványos orientációval:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}\,.$

Egy számpélda:

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 9-3\cdot 8\\3\cdot (-7)-1\cdot 9\\1\cdot 8-2\cdot (-7)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\-30\\22\end{pmatrix}}\,.$

Előállítása mátrixszorzásként

Három dimenzióban két vektor közötti vektoriális szorzást átírhatunk egy 3×3-as antiszimmetrikus mátrix és egy vektor szorzatára a következőképpen:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {A} \times \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}$

Determinánsalak

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$, ahol i, j és k az egységvektorok.

A gyakorlatban ezek a módszerek könnyebben megjegyezhetőek és a számolást is egyszerűsítik.

Levezetés

Ha az euklideszi térben bevezetünk egy Descartes-féle koordináta-rendszert az ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}$ egységvektorokkal, akkor a geometriai definíció és az antikommuitativitás miatt:

${\begin{array}{lll}{\vec {e}}_{1}\times {\vec {e}}_{1}={\vec {0}},&{\vec {e}}_{1}\times {\vec {e}}_{2}={\vec {e}}_{3},&{\vec {e}}_{1}\times {\vec {e}}_{3}=-{\vec {e}}_{2},\\{\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{1}=-{\vec {e}}_{3},&{\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{2}={\vec {0}},&{\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}={\vec {e}}_{1},\\{\vec {e}}_{3}\times {\vec {e}}_{1}={\vec {e}}_{2},&{\vec {e}}_{3}\times {\vec {e}}_{2}=-{\vec {e}}_{1},&{\vec {e}}_{3}\times {\vec {e}}_{3}={\vec {0}}.\\\end{array}}$

Kifejezve az ${\vec {a}},{\vec {b}}$ tényezőket a bázisegységvektorokkal, a vektoriális szorzat így alakul:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left(a_{1}{\vec {e}}_{1}+a_{2}{\vec {e}}_{2}+a_{3}{\vec {e}}_{3}\right)\times \left(b_{1}{\vec {e}}_{1}+b_{2}{\vec {e}}_{2}+b_{3}{\vec {e}}_{3}\right).$

Bilinearitás miatt:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=a_{1}b_{1}\left({\vec {e}}_{1}\times {\vec {e}}_{1}\right)+a_{1}b_{2}\left({\vec {e}}_{1}\times {\vec {e}}_{2}\right)+a_{1}b_{3}\left({\vec {e}}_{1}\times {\vec {e}}_{3}\right)+a_{2}b_{1}\left({\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{1}\right)+a_{2}b_{2}\left({\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{2}\right)+a_{2}b_{3}\left({\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}\right)+a_{3}b_{1}\left({\vec {e}}_{3}\times {\vec {e}}_{1}\right)+a_{3}b_{2}\left({\vec {e}}_{3}\times {\vec {e}}_{2}\right)+a_{3}b_{3}\left({\vec {e}}_{3}\times {\vec {e}}_{3}\right).$

Behelyettesítve a fenti vektoriális szorzatba:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=a_{1}b_{2}{\vec {e}}_{3}+a_{1}b_{3}\left(-{\vec {e}}_{2}\right)+a_{2}b_{1}\left(-{\vec {e}}_{3}\right)+a_{2}b_{3}{\vec {e}}_{1}+a_{3}b_{1}{\vec {e}}_{2}+a_{3}b_{2}\left(-{\vec {e}}_{1}\right).$

Összevonva a megfelelő termeket:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\,{\vec {e}}_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\,{\vec {e}}_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,{\vec {e}}_{3}.$

Vektoriálisszorzó-mátrix

Legyen ${\vec {w}}$ egy rögzített vektor! Ekkor a vektoriális szorzás egy lineáris leképezést definiál, ami egy tetszőleges ${\vec {v}}$ vektort a ${\vec {w}}\times {\vec {v}}$ vektorra képez. Ez azonosítható egy ferde másodfokú tenzorral. A $\lbrace {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}\rbrace$ standard bázis alkalmazása esetén megfelelő ferdén szimmetrikus mátrix

${W}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {w}}\times {\vec {e}}_{i})\otimes {\vec {e}}_{i}=\left({\begin{array}{ccc}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{array}}\right)$    ahol    $\displaystyle {\vec {w}}=\sum _{i=1}^{3}w_{i}{\vec {e}}_{i}=\left({\begin{array}{c}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{array}}\right)$

ugyanaz, mint a vektoriális szorzás ${\vec {w}}$-vel, azaz ${W}{\vec {v}}={\vec {w}}\times {\vec {v}}$:

$\left({\begin{array}{ccc}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-w_{3}v_{2}+w_{2}v_{3}\\w_{3}v_{1}-w_{1}v_{3}\\-w_{2}v_{1}+w_{1}v_{2}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{array}}\right)$.

Ez a $W$ mátrix vektoriálisszorzó-mátrix. Úgy is jelölik, mint $[{\vec {w}}]_{\times }$. Indexes jelöléssel:

$W_{ij}=-\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}w_{k}$

ahol

$\sum _{j=1}^{3}W_{ij}v_{j}=({\vec {w}}\times {\vec {v}})_{i}$.

Adott ${W}$ ferdén szimmetrikus mátrix esetén

${W}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}W_{ij}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}=-W^{T}$,

ahol ${W}^{T}$ a $W$ mátrix transzponáltja. A hozzá tartozó vektor

${\vec {w}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}W_{ij}{\vec {e}}_{i}\times {\vec {e}}_{j}$.

Ha ${\vec {w}}$ alakja ${\vec {w}}={\vec {b}}\times {\vec {a}}$, akkor a hozzá tartozó vektoriálisszorzó-mátrix

${W}=[{\vec {w}}]_{\times }={\vec {a}}\otimes {\vec {b}}-{\vec {b}}\otimes {\vec {a}}$ és $W_{ij}=a_{i}b_{j}-b_{i}a_{j}$ minden $i,j$ indexre.

Ahol „$\otimes$“ diadikus szorzat.

Poláris és axiális vektorok

Vektoriális fizikai mennyiségekre alkalmazva a vektoriális szorzást különbséget tesznek poláris vagy eltolási vektorok (két helyvektor különbsége), és axiális, azaz forgatóvektorok között (ezek forgástengelyként működnek, például szögsebesség, forgatómomentum, forgatóimpulzus, mágneses folyamsűrűség).

A poláris vektorok szignatúrája +1, az axiális vektoroké −1. Vektoriális szorzáskor a szignatúrákat is összeszorozzák: ha a szignatúrák megegyeznek, akkor a szorzat axiális; különben a szorzat poláris. Azaz egy axiális vektor átviszi szignatúráját a szorzatra; ellenben a poláris vektor megfordítja az előjelet.

A vektoriális szorzásból származtatott műveletek

Vegyes szorzat

A vegyes szorzat megadja a három vektor által kifeszített paralelepipedon térfogatát

A vektorok vegyes szorzatának definíciója:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$

Az eredmény egy szám, ami megegyezik a három vektor által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatával. A vektoriális szorzat ábrázolható a három tényezőből alkotott mátrixszal:

$V=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=\det \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right).$

Rotáció

A vektoranalízisben a $\nabla$ nabla operátorral együtt alkalmazzák a vektoriális szorzást, hogy bevezessék a rotációt. Ha ${\vec {V}}$ vektormező $\mathbb {R} ^{3}$-ben, akkor

$\operatorname {rot} {\vec {V}}=\nabla \times {\vec {V}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}V_{1}\\[.5em]V_{2}\\[.5em]V_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}V_{3}-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}V_{2}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}V_{1}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}V_{3}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}V_{2}-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}V_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial V_{2}}{\partial x_{3}}}\\[.5em]{\frac {\partial V_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial V_{3}}{\partial x_{1}}}\\[.5em]{\frac {\partial V_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial V_{1}}{\partial x_{2}}}\end{pmatrix}}$

ismét vektormező, ${\vec {V}}$ rotációja.

Formálisan a rotációt a nabla operátor és a vektormező vektoriális szorzataként fejezik ki. Az itt m,egjelenő ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}V_{j}$ kifejezések nem szorzatok, hanem az ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ operátorok alkalmazása a $V_{j}$ függvényekre; így a fenti tulajdonságok, például a Graßmann-azonosság nem teljesülnek. Ehelyett a nabla operátorral való számolás szabályai érvényesülnek.

Vektoriális szorzás más dimenziókban

A vektoriális szorzás általánosítható tetszőleges $n\geq 2$ dimenzióra az $\mathbb {R} ^{n}$ térben. Ebben a tényezők száma nem 2, hanem $n-1$, azaz például 2 dimenzióban egy vektor elég, de négy dimenzióban három kell.

Az ${\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{n-1}\in \mathbb {R} ^{n}$ vektorok vektoriális szorzatát az jellemzi, hogy minden ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ esetén

${\vec {v}}\cdot ({\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1})=\operatorname {det} ({\vec {v}},{\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{n-1}).$

A vektoriális szorzat koordinátái $\mathbb {R} ^{n}$-ben a következőképpen számítjuk: Legyen ${\vec {e}}_{i}$ az $i$-edik standard egységvektor! Az $n-1$ vektorra:

${\vec {a}}_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{n1}\end{pmatrix}},\ {\vec {a}}_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{n2}\end{pmatrix}},\ \dots ,\ {\vec {a}}_{n-1}={\begin{pmatrix}a_{1\,(n-1)}\\a_{2\,(n-1)}\\\vdots \\a_{n\,(n-1)}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$

teljesül, hogy ${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1}=\det {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&a_{11}&\cdots &a_{1(n-1)}\\{\vec {e}}_{2}&a_{21}&\cdots &a_{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\vec {e}}_{n}&a_{n1}&\dots &a_{n(n-1)}\end{pmatrix}},$ a fenti determinánsos számoláshoz hasonlóan.

Az ${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1}$ vektor ortogonális az ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1}$ vektorokra. Az irányítás olyan, hogy ${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1},{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1}$ ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. Az ${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1}$ szorzat hossza megegyezik az ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1}$ által kifeszített parallelotóp $(n-1)$ dimenziós térfogatával.

Az $n=2$ esetben egy lineáris leképezést kapunk:

$\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2};\ {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{2}\\-a_{1}\end{pmatrix}}$

ami egy 90 fokos forgatás az óramutató járása szerint.

Itt meg kell jegyeznünk, hogy a tényezőkhöz hozzávéve a szorzatvektort csak páratlan dimenzióban kapunk jobbrendszert; páros dimenziókban balrendszert kapunk. Ez azon múlik, hogy $({\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1},{\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \dotsb \times {\vec {a}}_{n-1})$ páros dimenzióban nem ugyanaz a bázis, mint $({\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \dotsb \times {\vec {a}}_{n-1},{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1})$, ami definíció szerint jobbrendszer. Habár egy kisebb változtatással a definícióban páros dimenziókban is jobbrendszerre lehetne áttérni (azaz a szimbolikus determinánsban az egységvektorokat utolsó sorként vagy oszlopként megadni), ez a definíció nem terjedt el.

Egy további általánosítással Graßmann-algebrákhoz jutunk, melyek a differenciálgeometriában találnak alkalmazásra. Itt különféle fizikai területek részletesen modellezhetők, mint a klasszikus mechanika (szimplektikus sokaságok), a kvantumgeometria, illetve az általános relativitáselmélet. A szakirodalom elrejti a magasabb dimenziós, illetve görbült terekben definiált vektoriális szorzást, és inkább indexenként írja ki Levi-Civita-szimbólumokkal.

Komplex vektoriális szorzás

Komplex vektorterekben, például $\mathbb {C} ^{3}$-ben a vektoriális szorzás definíciója a skaláris szorzástól függ. Ha az $x,y\in \mathbb {C} ^{3}$vektorok skaláris szorzását úgy választjuk, hogy az első tényező koordinátáit komplex konjugáljuk:

$\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle :={\bar {x}}_{1}y_{1}+{\bar {x}}_{2}y_{2}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}={\vec {x}}^{H}{\vec {y}}$

akkor a vektoriális szorzat számítható úgy, mint $\mathbb {R} ^{3}$-ben, és a végén komplex konjugálva:

${\vec {x}}\times {\vec {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}}}\\{\overline {x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}}}\\{\overline {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}}\end{pmatrix}}\,.$

Alkalmazások

Alkalmazzák a geometriában kitérő egyenesek távolságának számítására.

A fizika számos területén alkalmazzák, pl.:

B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erő: $\mathbf {F} =q(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

r erőkarral rendelkező F erő forgatónyomatéka: $\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

Külső hivatkozások

• Interaktív Java szimuláció két vektor vektoriális szorzatáról gömbi koordináták megadásával. Szerző: Wolfgang Bauer
• Magyarított Flash animáció két vektor vektoriális szorzatának irányáról, ill. ennek kapcsolatáról a jobbkézszabállyal. Szerző: David M. Harrison

Forrás

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.

Lásd még

• Skaláris szorzat

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.