Proiezione di Cassini

La proiezione di Cassini (conosciuta anche con il nome di proiezione di Cassini-Soldner o proiezione di Soldner)^[1] è una proiezione cartografica cilindrica proposta nel 1745 dall'astronomo e geodeta francese César-François Cassini. Si tratta in particolare della proiezione trasversale alla proiezione equirettangolare, ottenuta applicando quest'ultima proiezione al globo, dopo che questo è stato ruotato in modo da far sì che il meridiano centrale diventi l'equatore. Considerando la Terra come una sfera, la proiezione è composta dalle operazioni:^[2]

x=\arcsin(\cos \varphi \sin \lambda )\qquad y=\arctan \left({\frac {\tan \varphi }{\cos \lambda }}\right).

dove λ è la longitudine dal meridiano centrale e φ è la latitudine. Volendo realizzare un programma che utilizzi queste equazioni, la funzione arcotangente da usare è in realtà la funzione arcotangente2 avente come primo argomento sin φ e come secondo cos φ cos λ.

Per invertire tale proiezione le operazioni da fare sono:

\varphi =\arcsin(\sin y\cos x)\qquad \lambda =\operatorname {atan2} (\tan x,\cos y).

Nella cartografia moderna, questa proiezione viene sempre applicata a modelli della Terra non sferici, quali l'ellissoide di riferimento, il che rende più complicato il suo sviluppo matematico ma rende comunque la proiezione molto adatta a scopi di rilievo. Proprio per questo ultimo punto, nonostante presso i principali enti cartografici la proiezione di Cassini sia stata oggi quasi del tutto rimpiazzata dalla proiezione universale trasversa di Mercatore, alcuni enti seguitano ad usarla: ne è un esempio l'Ufficio Tecnico Erariale italiano, che ha utilizzato la proiezione di Cassini nella sua versione modificata da Soldner, ossia considerando la Terra un ellissoide e non una sfera, per redigere il Nuovo Catasto dei Terreni.^[3]^[4]

Distorsioni

La proiezione di Cassini è una proiezione afilattica, ossia minimizza tutte le deformazioni senza però annullarne nessuna. In una mappa realizzata con essa, le aree lungo il meridiano centrale e quelle a loro perpendicolari non subiscono alcuna distorsione. Nelle altre aree, invece, la distorsione è maggiore nella direzione nord-sud e varia con il quadrato della distanza dal meridiano centrale. In questo modo, più grande è l'estensione longitudinale dell'area considerata e maggior è la sua distorsione e proprio per questo la proiezione di Cassini è preferibile quando si ha a che fare con aree lunghe e strette piuttosto che con aree ampie.

Tanto per dare un'idea, entro un raggio di circa 70 km la proiezione di Cassini-Soldner presenta una deformazione lineare massima dello 0,006% nella direzione del meridiano e nulla nella direzione del parallelo, quindi negli ambiti in cui è utilizzata, come nella creazione di carte catastali, essa è praticamente equivalente.^[4]

Forma ellittica

Come detto, la proiezione di Cassini propriamente detta è quella applicata ad una sfera, mentre le stesse operazioni applicata ad un ellissoide prendono il nome di "proiezione di Cassini-Soldner" (talvolta anche solo "proiezione di Soldner"). La rappresentazione di Cassini-Soldner viene chiamata anche policentrica e viene usata utilizzando tante superfici trapezoidali basate su differenti meridiani principali.^[5]

Considerando dunque la Terra come un ellissoide, la proiezione è composta dalle seguenti operazioni:^[2]

N=(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{-1/2}

T=\tan ^{2}\varphi

A=\lambda \cos \varphi

C={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\cos ^{2}\varphi

x=N\left(A-T{\frac {A^{3}}{6}}-(8-T+8C)T{\frac {A^{5}}{120}}\right)

y=M(\varphi )-M(\varphi _{0})+(N\tan \varphi )\left({\frac {A^{2}}{2}}+(5-T+6C){\frac {A^{4}}{24}}\right)

e M è la funzione arco di meridiano.

La proiezione inversa è invece composta dalle operazioni:

\varphi '=M^{-1}(M(\varphi _{0})+y)

Se $\varphi '={\frac {\pi }{2}}$ allora $\varphi =\varphi '$ e $\lambda =0.$

Altrimenti si calcola T e N come mostrato sopra ma con l'uso di $\varphi '$ , e

R=(1-e^{2})(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi ')^{-3/2}

D=x/N

\varphi =\varphi '-{\frac {N\tan \varphi '}{R}}\left({\frac {D^{2}}{2}}-(1+3T){\frac {D^{4}}{24}}\right)

\lambda ={\frac {D-T{\frac {D^{3}}{3}}+(1+3T)T{\frac {D^{5}}{15}}}{\cos \varphi '}}

Curiosità

Nel 1993 una spedizione neozelandese di ricerca antartica ha battezzato il ghiacciaio Cassini, nella regione centro-occidentale della Dipendenza di Ross, con tale nome proprio in omaggio alla proiezione di Cassini.^[6]

Note

^ Cassini, su pro.arcgis.com, Environmental Systems Research Institute, Inc.. URL consultato il 30 aprile 2020.
^ ^a ^b J. P. Snyder, Cassini Projection (PDF), in Map Projections: A Working Manual, U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, United States Geological Survey, 1987, p. 92. URL consultato il 30 aprile 2020.
^ Paolo Zanelli, Proiezioni cartografiche in uso in Italia (PDF), su ing.unitn.it, Università di Trento. URL consultato il 30 aprile 2020.
^ ^a ^b Camillo Berti, Proiezioni cartografiche (PDF), su giseqgis.it, Università degli studi di Firenze, 2010, p. 59. URL consultato il 30 aprile 2020 (archiviato dall'url originale il 25 settembre 2020).
^ Antonio Catizzone, Fondamenti di cartografia, su books.google.it, Gangemi Editore. URL consultato il 30 aprile 2020.
^ (EN) Ghiacciaio Cassini, in Geographic Names Information System, USGS.