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다항 방정식 의 판별식에 관한 것입니다. 대수적 수체의 판별식에 대해서는
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수학 에서 판별식 (判別式, 영어 : discriminant )은 다항식 이 중복된 근을 갖는지 여부를 나타내는 값이다.
대수적으로 닫힌 체
K
{\displaystyle K}
다항식
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
=
a
n
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
⋯
(
x
−
x
n
)
∈
K
[
x
]
{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})\in K[x]}
a
0
,
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
K
{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in K}
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
K
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in K}
의 판별식 은 다음과 같다.[ 1] :204
disc
(
f
)
=
a
n
2
n
−
2
∏
i
<
j
(
x
i
−
x
j
)
2
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
n
2
n
−
2
∏
i
≠
j
(
x
i
−
x
j
)
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
n
−
1
res
(
f
,
f
′
)
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
a
n
−
1
|
a
n
a
n
−
1
⋯
a
1
a
0
⋱
⋱
⋱
⋱
⋱
a
n
a
n
−
1
⋯
a
1
a
0
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
a
1
⋱
⋱
⋱
⋱
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
a
1
n
a
n
(
n
−
1
)
a
n
−
1
⋯
a
1
|
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} (f)&=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}\operatorname {res} (f,f')\\&=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{-1}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}
여기서
(
−
)
′
{\displaystyle (-)'}
res
{\displaystyle \operatorname {res} }
종결식 이다.
|
−
|
{\displaystyle \left|-\right|}
행렬식 이다.대수적으로 닫힌 체
K
{\displaystyle K}
f
∈
K
[
x
]
{\displaystyle f\in K[x]}
동치 이다.
f
{\displaystyle f}
disc
(
p
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {disc} (p)=0}
체
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
분해 가능 기약 다항식
f
∈
K
[
x
]
{\displaystyle f\in K[x]}
갈루아 군
Gal
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (f)}
충실하게 작용 하며, 이는 단사 군 준동형
Gal
(
f
)
↪
Sym
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (f)\hookrightarrow \operatorname {Sym} (n)}
을 정의한다. 만약
char
K
≠
2
{\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}
동치 이다.
Gal
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {Gal} (f)}
Alt
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Alt} (n)}
disc
(
f
)
∈
K
{\displaystyle {\sqrt {\operatorname {disc} (f)}}\in K}
복소수 계수 2차 다항식
f
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
의 판별식은 다음과 같다.
disc
(
f
)
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \operatorname {disc} (f)=b^{2}-4ac}
실수 계수 다항식의 경우, 판별식은 실수이며, 다음이 성립한다.
만약
b
2
−
4
a
c
>
0
{\displaystyle b^{2}-4ac>0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
만약
b
2
−
4
a
c
=
0
{\displaystyle b^{2}-4ac=0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
만약
b
2
−
4
a
c
<
0
{\displaystyle b^{2}-4ac<0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
복소켤레 인 (특히 서로 다른) 두 허근을 갖는다. 복소수 계수 3차 다항식
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
의 판별식은 다음과 같다.
disc
(
f
)
=
b
2
c
2
−
4
a
c
3
−
4
b
3
d
−
27
a
2
d
2
+
18
a
b
c
d
{\displaystyle \operatorname {disc} (f)=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}
특히, 다항식
f
(
x
)
=
x
3
+
p
x
+
q
{\displaystyle f(x)=x^{3}+px+q}
의 판별식은
disc
(
f
)
=
−
4
p
3
−
27
q
2
{\displaystyle \operatorname {disc} (f)=-4p^{3}-27q^{2}}
이다.
실수 계수의 경우, 다음이 성립한다.:633
만약
disc
(
f
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {disc} (f)>0}
허수 의 거듭제곱근을 사용하여 나타낼 수 있으며, 유리수 계수 기약 다항식의 경우 실수의 거듭제곱근만을 통해서는 나타낼 수 없다. 이를 환원 불능의 경우 (라틴어 : casus irreducibilis 카수스 이레두키빌리스[* ] )라고 한다.
만약
disc
(
f
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {disc} (f)=0}
만약
disc
(
f
)
<
0
{\displaystyle \operatorname {disc} (f)<0}
복소켤레 인 두 허근을 갖는다. 유리수 계수 3차 기약 다항식의 경우, 그 분해체
K
{\displaystyle K}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
갈루아 확대 를 이루며, 그 갈루아 군 은 다음과 같다.
Gal
(
K
/
Q
)
≅
{
Sym
(
3
)
disc
(
f
)
∉
Q
Alt
(
3
)
disc
(
f
)
∈
Q
{\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Sym} (3)&{\sqrt {\operatorname {disc} (f)}}\not \in \mathbb {Q} \\\operatorname {Alt} (3)&{\sqrt {\operatorname {disc} (f)}}\in \mathbb {Q} \end{cases}}}
복소수 계수 4차 다항식
p
(
x
)
=
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
{\displaystyle p(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}
의 판별식은
disc
(
p
)
=
256
a
3
e
3
−
192
a
2
b
d
e
2
−
128
a
2
c
2
e
2
+
144
a
2
c
d
2
e
−
27
a
2
d
4
+
144
a
b
2
c
e
2
−
6
a
b
2
d
2
e
−
80
a
b
c
2
d
e
+
18
a
b
c
d
3
+
16
a
c
4
e
−
4
a
c
3
d
2
−
27
b
4
e
2
+
18
b
3
c
d
e
−
4
b
3
d
3
−
4
b
2
c
3
e
+
b
2
c
2
d
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} (p)&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\&\qquad -27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\&\qquad \qquad +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}\\&\qquad \qquad \qquad +18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}
이다.
![{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf944e92bd6d47382a8387f338043455caba8dba)
![{\displaystyle f\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5bfd4edcab09e8a6993a8ab40d08c5e8d630ff)
