Метрички простор

У математици, метрички простор је скуп на коме је дефинисан појам раздаљине (метрика) између елемената скупа. Метрички простор који највише одговара нашем поимању простора је 3-димензиони еуклидски простор. Еуклидска метрика овог простора дефинише раздаљину између две тачке као дужину праве линије која их спаја. Геометрија простора зависи од изабране метрике, и коришћењем неке друге метрике можемо да конструишемо интересантне нееуклидске геометрије попут оних које се користе у општој теорији релативности.

Метрички простор индукује тополошка својства попут отворних и затворених скупова која воде у изучавање још апстрактнијих тополошких простора.

Историја

Морис Фреше је увео метричка поља у свом раду Sur quelques points du calcul fonctionnel из 1906. године.

Дефиниција

Метрички простор је пар (M, d) где је M скуп а d је метрика на M, то јест функција

$d:M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

таква да

1. d(x, y) ≥ 0     (ненегативност)
2. d(x, y) = 0   ако и само ако   x = y
3. d(x, y) = d(y, x)     (симетрија)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (неједнакост троугла).

Функција d се такође назива функцијом раздаљине или просто раздаљином. Често се d изоставља, и пише се само M за метрички простор ако је из контекста јасно која метрика се користи. Уклањање једног или више од горенаведених услова даје псеудометрички простор, квазиметрички простор, хемиметрички простор, семиметрички простор или најопштије праметрички простор.

Први од ова четири услова у ствари следи из остала три, јер:

2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.

Исправније је рећи да је ово својство метричког простора, али је у многим уџбеницима укључено у дефиницију.

Неке дефиниције захтевају да M буде непразан скуп.

Метрички простори као тополошки простори

Посматрање метричког простора као тополошког простора је толико конзистентно да се ради готово о делу дефиниције.

Око било које тачке -{x} у метричком простору M дефинишемо отворену куглу полупречника r (>0) око x као скуп

B(x; r) = {y in M : d(x,y) < r}.

Ове отворене кугле генеришу топологију на M, што га чини тополошким простором. Експлицитно, подскуп од M се назива отвореним ако је унија (коначно или бесконачно много) отворених кугли. Комплемент отвореног скупа се назива затвореним.

Како су метрички простори тополошки простори, јавља се појам непрекидне функције између метричких простора. Ова дефиниција је еквивалентна уобичајеној епсилон-делта дефиницији непрекидности (која се не односи на топологију), и такође се може директно дефинисати помоћу лимеса низова.

Примери метричких простора

• Реални бројеви са функцијом раздаљине y − x| дате апсолутном вредношћу, и општије еуклидски n-простор са еуклидском раздаљином, су комплетни метрички простори.
• Рационални бројеви са истом функцијом раздаљине такође чине метрички простор, али он није комплетан.
• Хиперболички простор.
• Сваки нормирани векторски простор је метрички простор дефинисањем |y − x|| (Ако је такав простор комплетан, онда се зове Банахов простор).
• Дискретна метрика, где је d(x,y)=1 за све x различите од y и d(x,y)=0 у супротном, је прост али важан пример, и може се применити на све непразне скупове. Ово такође показује да се са сваким непразним скупом може повезати метрички простор.
• Левенштајново растојање, (едит растојање) је мера различитости између две ниске u и v. Растојање је минимални број брисања, уметања и замене карактера, неопходних да би се ниска u трансформисала у ниску v.
• Ако је M повезана Риманова многострукост, онда можемо да претровимо M у метрички простор дефинисањем раздаљине између две тачке као инфимум дужина путања (непрекидно диференцијабилних кривих) које их повезују.
• Ако је G неусмерен повезан граф, тада скуп чворова V из G може да се претвори у метрички простор дефинисањем d(x, y) као дужине најкраћег пута који повезује чворове x и y.
• Ако је дата инјективна функција f из било ког скупа A у метрички простор (X,d), d(f(x), f(y)) дефинише метрику на A.
• Скуп свих n са m матрица над коначним пољем је метрички простор у односу на ранг дистанцу d(X,Y) = rang(Y-X).

Литература

• Choudhary, B. (1992). The Elements of Complex Analysis. New Age International. стр. 20. ISBN 978-81-224-0399-2. 
• Kaplansky, Irving (1. 5. 2001). Set Theory and Metric Spaces (на језику: енглески) (2nd изд.). AMS Chelsea Publishing; American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2694-2. 
• Reisel, Robert B. (1982). Elementary Theory of Metric Spaces: A Course in Constructing Mathematical Proofs (Universitext) (на језику: енглески) (1st изд.). ISBN 978-0-387-90706-2. 
• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society. (1st изд.). 2004. ISBN 978-3-03719-010-4.  . (2nd изд.). 2014. ISBN 978-3-03719-132-3.  .
• Aldrovandi, Ruben; Pereira, José Geraldo (2017), An Introduction to Geometrical Physics (2nd изд.), Hackensack, New Jersey: World Scientific, стр. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, MR 3561561 
• Arkhangel'skii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990), General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer, ISBN 3-540-18178-4 
• Bryant, Victor (1985). Metric spaces: Iteration and application. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31897-1. 
• Buldygin, V. V.; Kozachenko, Yu. V. (2000), Metric Characterization of Random Variables and Random Processes, Translations of Mathematical Monographs, 188, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 129, ISBN 0-8218-0533-9, MR 1743716, doi:10.1090/mmono/188 
• Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001). A course in metric geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6. 
• Čech, Eduard (1969). Point Sets. Academic Press. ISBN 0121648508. 
• Cohen, Andrew R.; Vitányi, Paul M. B. (2012), „Normalized compression distance of multisets with applications”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (8): 1602—1614, PMC 4566858 , PMID 26352998, arXiv:1212.5711 , doi:10.1109/TPAMI.2014.2375175 
• Deza, Michel Marie; Laurent, Monique (1997), Geometry of Cuts and Metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, стр. 27, ISBN 3-540-61611-X, MR 1460488, doi:10.1007/978-3-642-04295-9 
• Fraigniaud, P.; Lebhar, E.; Viennot, L. (2008), „The inframetric model for the internet”, 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications, стр. 1085—1093, CiteSeerX 10.1.1.113.6748 , ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID 5733968, doi:10.1109/INFOCOM.2008.163 
• Gromov, Mikhael (2007). Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4582-3. 
• Heinonen, Juha (2001). Lectures on analysis on metric spaces. New York: Springer. ISBN 0-387-95104-0. 
• Heinonen, Juha (24. 1. 2007). „Nonsmooth calculus”. Bulletin of the American Mathematical Society. 44 (2): 163—232. doi:10.1090/S0273-0979-07-01140-8 . CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Helemskii, A. Ya. (2006), Lectures and Exercises on Functional Analysis, Translations of Mathematical Monographs, 233, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 14, ISBN 978-0-8218-4098-6, MR 2248303, doi:10.1090/mmono/233 
• Pascal Hitzler; Anthony Seda (19. 4. 2016). Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. CRC Press. ISBN 978-1-4398-2962-2. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Lawvere, F. William (децембар 1973). „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. 43 (1): 135—166. S2CID 1845177. doi:10.1007/BF02924844. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Margalit, Dan; Thomas, Anne (2017). „Office Hour 7. Quasi-isometries”. Office hours with a geometric group theorist. Princeton University Press. стр. 125—145. ISBN 978-1-4008-8539-8. JSTOR j.ctt1vwmg8g.11. 
• Шаблон:Munkres Topology
• Шаблон:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Ó Searcóid, Mícheál (2006). Metric spaces. London: Springer. ISBN 1-84628-369-8. 
• Papadopoulos, Athanase (2014). Metric spaces, convexity, and non-positive curvature (Second изд.). Zürich, Switzerland: European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-132-3. 
• Rolewicz, Stefan (1987). Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems. Springer. ISBN 90-277-2186-6. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third изд.). New York. ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474. 
• Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ур.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, стр. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12 
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology. Dover. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. 
• Vitányi, Paul M. B. (2011). „Information distance in multiples”. IEEE Transactions on Information Theory. 57 (4): 2451—2456. S2CID 6302496. arXiv:0905.3347 . doi:10.1109/TIT.2011.2110130. 
• Väisälä, Jussi (2005). „Gromov hyperbolic spaces” (PDF). Expositiones Mathematicae. 23 (3): 187—231. MR 2164775. doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010 . 
• Vickers, Steven (2005). „Localic completion of generalized metric spaces, I”. Theory and Applications of Categories. 14 (15): 328—356. MR 2182680. Архивирано из оригинала 26. 04. 2021. г. Приступљено 26. 06. 2023. 
• Weisstein, Eric W. „Product Metric”. MathWorld. 
• Xia, Qinglan (2008). „The geodesic problem in nearmetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4. 
• Xia, Q. (2009). „The geodesic problem in quasimetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4. 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Metric space”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.
• Weisstein, Eric W. „Product Metric”. MathWorld.