直言三段论 是所有前提 都是直言命题 的演绎推理 。前兩個命題 被分别称为大前提 和小前提 [ 1] 有效的 ，這兩個前提邏輯上蕴涵了最後的命題，它叫做結論 。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項 在前提中必須周延
所有生物都會死。
所有人都是生物。
所以，所有人都會死。
這裡的中項“生物”在大前提中周延，大項“會死者”在大前提和結論中都不周延，小項“人”在小前提和結論中周延；這個三段論符合周延 規則：中項至少在一個前提中周延 。一些直言三段論 不是有效的，例如：
所有鳥都有翅膀。
所有人都不是鳥。
所以，没有人有翅膀。
即使此例子的兩個前提和結論都是正確的，中項“鳥”在大前提和小前提中周延，大項“有翅膀”在結論中周延，小項“人”在小前提和結論中周延；此三段論卻是一種大項不當 謬誤 ，將結論“沒有人有翅膀”理解為同樣表達的“所有人沒有翅膀”如此一來方便了解其中的谬误；此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延 規則：在結論中周延的詞項，在前提中也必須周延。在該三段論中大項“有翅膀”在結論被否定了，也就是說表達了人沒有“有翅膀”，大項在此周延，但在大前提中未周延，因為在大前提中“有翅膀”並沒有涉及該項的所有個體。
對立四邊形 圖，揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係，紅色表示非空，黑色表示空。三段論有如下典型形式：
大前提：所有M是P。
小前提：所有S是M。
結論：所有S是P。 其中S代表結論的主詞 （S ubject），P代表結論的謂詞 （P redicate），M代表中詞（M iddle）。
三段論的命題可分為全称 （universal）、特称 （particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣 （Mood）：
類型
代號
形式
範例
全稱肯定型
A （SaP）所有S是P
所有人是會死的
全稱否定型
E （SeP）沒有S是P
沒有人是完美的
特稱肯定型
I （SiP）有些S是P
有些人是健康的
特稱否定型
O （SoP）有些S不是P
有些人不是健康的
三段論中，結論中的謂詞稱作大詞 （P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提 ；結論中的主詞稱作小詞 （S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提 ；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞 （M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格 （Figure）：
第1格
第2格
第3格
第4格
大前提
M-P
P-M
M-P
P-M
小前提
S-M
S-M
M-S
M-S
結論
S-P
S-P
S-P
S-P
將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A 、E 、I 、O 型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。
三段論依語氣與格的分類縮寫，例如AAA-1 （也可以寫成1-AAA ）代表「大前提為A 型，小前提為A 型，結論為A 型，第1 格」的三段論。
此外，三段論的四種格之间可相互转换：
第1格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第2格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第3格。
第2格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第1格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第4格。
第3格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第4格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第1格。
第4格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第3格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第2格。 E 和I 命题对换主词和谓词的位置而保持同原命题等价。A 命题和O 命题不能对换主词和谓词的位置，但是可以采用直接推理 中的“对置法”。A命题还可以在确实主词有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I 命题后再对换主词和谓词的位置。
考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。
還可以通过构造文氏图 的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。
作为文氏圖方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P，它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x 存在量化 区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。
本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。
最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免謬論 。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用這些规则来检验有效性。
基本規則：
結論中周延 的詞必須在前提中周延 （謬誤：大詞不當 、小詞不當 ）。
中詞必須周延 至少一次（謬誤：中詞不周延 ）。
結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等：
二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論 ）。
一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論 ）。
二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤 ）。
結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等：
二前提皆全稱，則結論必須為全稱。
一前提是特稱，則結論必須為特稱。
二前提皆特稱，則三段論必無效。 若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。
其他檢查：
如果語境上不能假設所有提及的集合非空 ，部分推論將會無效（謬誤：存在謬誤 ）。
必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：四詞謬誤 、歧義謬誤 ）。 唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了A 、E 、I 、O 全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E 或O ），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I 或O ），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E 、I 或O ）。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。
第1格
第2格
第3格
第4格
AAA
AEE
AA I
AAI
EAE
EAE
EA O
EA O
AII
AOO
AII
AEE
EIO
EIO
EIO
EIO
AAI
AEO
IAI
IAI
EAO
EAO
OAO
AEO
在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
总共有19个有效的论式，算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式則為24個有效论式，其中每一格刚好各有6個有效论式。為便於記憶，中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語 名字，每個名字的加了下劃線的元音 即是對應的語氣：
第1格
第2格
第3格
第4格
Ba rba ra
Ca me stre s
Da ra p ti
Ba ma li p
Ce la re nt
Ce sa re
Fe la p to n
Fe sa p o
Da rii
Ba ro co
Da ti si
Ca le me s
Fe rio
Fe sti no
Fe ri so n
Fre si so n
Ba rba ri
Ca me stro s
Di sa mi s
Di ma ri s
Ce la ro nt
Ce sa ro
Bo ca rdo
Ca le mo s
下面列出的是亚里士多德 的《前分析篇 》中关于前3个格的14个三段论式。
所有M是P。 所有S是M。∴ 所有S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}
没有M是P。 所有S是M。∴ 没有S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \forall x(S(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
所有M是P。 有些S是M。∴ 有些S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。 有些S是M。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\quad \exists x(S(x)\land M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有P是M。 没有S是M。∴ 没有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}}}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
（AEE-2是AEE-4的等价形式。这种形式还有其他推导方法。）[ 2]
没有P是M。 所有S是M。∴ 没有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(S(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
（EAE-2是EAE-1的等价形式。）
所有P是M。 有些S不是M。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
(
¬
M
(
x
)
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land (\lnot M(x)))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（这种形式还有其他推导方法。）[ 3]
没有P是M。 有些S是M。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists x(S(x)\land M(x))\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（EIO-2是EIO-1的等价形式。）
所有M是P。 所有M是S。∴ 有些S是P。[ 4]
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\ {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
没有M是P。 所有M是S。∴ 有些S不是P。[ 5]
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
所有M是P。 有些M是S。∴ 有些S是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\end{matrix}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
（AII-3是AII-1的等价形式。）
没有M是P。 有些M是S。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（EIO-3是EIO-1的等价形式。）
有些M是P。 所有M是S。∴ 有些S是P。
∃
x
(
M
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land P(x))}{\exists x(P(x)\land M(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
（IAI-3是IAI-4的等价形式。）
有些M不是P。 所有M是S。∴ 有些S不是P。
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\quad \exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}}
（这种形式还有其他推导方法。）[ 6]
第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯 補充[ 7]
所有P是M。 所有M是S。∴ 有些S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
P
(
x
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\forall x(P(x)\rightarrow S(x))}}\quad {\cfrac {\exists xP(x)}{\exists x(P(x)\land P(x))}}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
没有P是M。 所有M是S。∴ 有些S不是P。
（这种形式需要假定有些M确实存在。）[ 8]
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\quad \\{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\end{matrix}}\,{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\exists xM(x)}{\exists x(M(x)\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（EAO-4是EAO-3的等价形式。）
所有P是M。 没有M是S。∴ 没有S是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
S
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S(x))\qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}}
没有P是M。 有些M是S。∴ 有些S不是P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\cfrac {\exists x(M(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land M(x))}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
（EIO-4是EIO-1的等价形式。）
有些P是M。 所有M是S。∴ 有些S是P。
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {\cfrac {\exists x(P(x)\land M(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))\qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}{\cfrac {\exists x(P(x)\land S(x))}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}}
歷史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母“p”，用来指示出这些论式通過引入了某个词项确实有元素存在的前提，将一个A 命题弱化成了I 命题。后人认为它們不是直言的即不是无条件的，这个问题被称为存在性引入问题 。
在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可将论式中的结论A 弱化为结论I ，结论E 弱化为结论O ，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。结论弱化论式有5个：AAI-1 （Barbari），即弱化的AAA-1；EAO-1 （Celaront），即弱化的EAE-1；AEO-2 （Camestros），即弱化的AEE-2；EAO-2 （Cesaro），即弱化的EAE-2；AEO-4 （Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的结论同于AII-1的结论，EAO-1、EAO-2的结论同于EIO-1的结论，AEO-2、AEO-4的结论同于AOO-2的结论，需要注意结论弱化论式原来的结论依然成立。
按照布尔逻辑 和集合代数 的观点，三段论可以解释为：集合 （类 ）
S
{\displaystyle \,S\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
二元关系 ，并且集合
M
{\displaystyle \,M\,}
P
{\displaystyle \,P\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
P
{\displaystyle \,P\,}
A （全称肯定）命题：所有
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
包含 于”
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
子集 ，
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
超集 ，这是一种偏序关系 ，
L
{\displaystyle \,L\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
L
{\displaystyle \,L\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
A 命题允许两个推理方向，从元素属于
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
A 命题确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
差集 是空集 。E （全称否定）命题：所有
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
无交集 ”的关系，这是一种对称关系 ，
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
E 命题允许两个推理方向，从元素属于
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
E 命题确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
交集 是空集 。I （特称肯定）命题：有些
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
交集 ”的关系，这是一种对称关系 ，
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
I 命题确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
交集 不是空集 。O （特称否定）命题：有些
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
M
{\displaystyle \,M\,}
包含 于”
N
{\displaystyle \,N\,}
O 命题确定了
M
{\displaystyle \,M\,}
N
{\displaystyle \,N\,}
差集 不是空集 。两个全称命题可以推出一个新的全称命题，一个全称命题和一个特称命题可以推出一个新的特称命题，两个特称命题无法推理。A 命题可以和所有四种命题組合。E 命题还可以和I 命题組合，两个否定命题和IE 组合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在AA 、AE 、EA 、AI 、IA 、AO 、OA 、EI 這8種組合乘以4種格，共32種情況中找出。
AA 组合中AAA-1是直接推出的；第4格AA 組合推论出谓词包含於主词的关系，这不是四种命题之一，只能在谓词确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE 组合中AEE-4是直接推出的，EA 组合中EAE-1是直接推出的。第3格AA 組合和EA 組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3没有等价者。通過對換其前提E 命題中主詞和謂詞的位置，從AEE-4得出其等價者AEE-2，從EAE-1的得出其等價者EAE-2，從EAO-3得出其等價者EAO-4。
AII-1、IAI-4是直接推出的，通過對換其前提I 命題中主詞和謂詞的位置，從AII-1得出其等價者AII-3，從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了反證法 ，这里采用了直接推理 中的“对置法”，AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的，通過對換其前提E 命题及/或 I 命題中主詞和謂詞的位置，從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。
下表以文氏圖 展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設 的推理以虛線與斜體字標示。
^ 中国社会科学院语言研究所词典编辑室. 现代汉语词典 2016年9月第七版. 商务印书馆. 2016: 1121 -1122 [2020-07-05 ] . ISBN 978-7-100-12450-8（中文（大陆简体）） . .......【三段论】.......由大前提和小前提推出结论。如“凡金属都能导电”（大前提），“铜是金属”（小前提），“所以铜能导电”（结论）。....... ^ 这个论式还可以推导为：
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
(
¬
M
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M(x)))}}{\forall x((\lnot M(x))\rightarrow \lnot P(x))}}\quad {\cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(S(x)\rightarrow (\lnot M(x)))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow \lnot P(x))}}}
^ 这个论式还可以采用反证法 来推导：
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
¬
(
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
M
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
⊥
⟹
∀
x
(
P
(
x
)
→
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
M
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\cfrac {{\begin{matrix}\quad \\\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\end{matrix}}\quad {\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}}{\forall x(S(x)\rightarrow M(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x((\lnot M(x))\land S(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot M(x))\land M(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M(x))\qquad \exists x(S(x)\land \lnot M(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}}
^ 直接結論是：所有M是P且S。
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
P
(
x
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow (P(x)\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land P(x)))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land P(x))}}}
^ 直接結論是：所有M是S且非P。
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow ((\lnot P(x))\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
^ 这个论式还可以采用反证法 来推导：
¬
(
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∀
x
(
S
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
P
(
x
)
)
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
M
(
x
)
)
∃
x
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
P
(
x
)
)
⊥
⟹
∃
x
(
M
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {{\cfrac {{\cfrac {\lnot (\exists x(S(x)\land \lnot P(x)))}{\forall x(S(x)\rightarrow P(x))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow P(x))}}\quad {\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))}{\exists x((\lnot P(x))\land M(x))}}}{\cfrac {\exists x((\lnot P(x))\land P(x))}{\bot }}}\\\implies &{\cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P(x))\qquad \forall x(M(x)\rightarrow S(x))}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}\end{aligned}}}
^ 在亞里士多德 《前分析篇 》裡關於AEE-2的論證中，對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後，得出第4格的AEE-4，亞里士多德稱之為再次得到了第1格，沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第4格。在亞里士多德的定義中第1格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第4格中有4個論式是其他格的等價形式、1個論式是結論弱化形式，因此亞里士多德三段論體系並無缺失。
^ 直接結論是：所有M是S且非P。
∀
x
(
P
(
x
)
→
¬
M
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
¬
P
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
S
(
x
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
(
¬
P
(
x
)
)
∧
S
(
x
)
)
)
∀
x
(
M
(
x
)
→
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
)
∃
x
M
(
x
)
∃
x
(
S
(
x
)
∧
¬
P
(
x
)
)
{\displaystyle {\cfrac {{\cfrac {\cfrac {{\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P(x))}}\qquad {\begin{matrix}\quad \\\forall x(M(x)\rightarrow S(x))\end{matrix}}}{\forall x(M(x)\rightarrow ((\lnot P(x))\land S(x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow (S(x)\land \lnot P(x)))}}\quad {\begin{matrix}\quad \\\exists xM(x)\end{matrix}}}{\exists x(S(x)\land \lnot P(x))}}}
Aristotle , Prior Analytics Robin Smith （Hackett, 1989）ISBN 0-87220-064-7 .Blackburn, Simon , 1996. "Syllogism" in the Oxford Dictionary of Philosophy . Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8 .Broadie, Alexander, 1993. Introduction to Medieval Logic . Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0 .
Irving Copi , 1969. Introduction to Logic , 3rd ed. Macmillan Company.Hamblin, Charles L. , 1970. Fallacies , Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5 . Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“Jan Łukasiewicz , 1987 (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic . New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242 . OCLC 15015545.
