Няроўнасць трохвугольніка

Няро́ўнасць тро́хвуго́льніка ў геаметрыі, функцыянальным аналізе і сумежных дысцыплінах — адна з інтуітыўных уласцівасцей адлегласці. Яна сцвярджае, што даўжыня любой стараны трохвугольніка заўсёды не перавышае сумы даўжынь яго іншых старон. Няроўнасць трохвугольніка ўключаецца як аксіёма ў азначэнне метрычнай прасторы, нормы і г.д.; таксама, часта з'яўляецца тэарэмаю ў розных тэорыях.

Еўклідава геаметрыя

Даўжыня любой стараны трохвугольніка не перавышае сумы даўжынь дзвюх астатніх.

Няхай ёсць трохвугольнік $\Delta ABC.$ Тады $|AC|\leqslant |AB|+|BC|,$ прычым роўнасць $|AC|=|AB|+|BC|$ дасягаецца толькі тады, калі трохвугольнік выраджаны, і пункт $B$ ляжыць строга паміж $A$ і $C$.

Еўклід у Пачатках даказвае няроўнасць трохвугольніка наступным чынам. Спачатку даказваецца тэарэма, што знешні вугал трохвугольніка большы за ўнутраны вугал, з ім не сумежны. З яе выводзіцца тэарэма аб тым, што насупраць большай стараны трохвугольніка ляжыць большы ўнутраны вугал. Далей, метадам ад процілеглага даказваецца тэарэма аб тым, што насупраць большага ўнутранага вугла трохвугольніка ляжыць большая старана. А з гэтай тэарэмы выводзіцца няроўнасць трохвугольніка.

Нармаваная прастора

Няхай $(X,\|\cdot \|)$ — нармаваная вектарная прастора, дзе $X$ — адвольнае мноства, а $\|\cdot \|$ — вызначаная на $X$ норма. Тады па азначэнню апошняй справядліва:

$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.$

Гільбертава прастора

У гільбертавай прасторы, няроўнасць трохвугольніка з'яўляецца вынікам няроўнасці Кашы — Бунякоўскага.

Метрычная прастора

Няхай $(X,\rho )$ — метрычная прастора, дзе $X$ — адвольнае мноства, а $\rho$ — вызначаная на $X$ метрыка. Тады па азначэнню апошняй

$\rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.$

Варыяцыі і абагульненні

• Моцная няроўнасць трохвугольніка

  $d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$

Адваротная няроўнасць трохвугольніка

Вынікам няроўнасці трохвугольніка ў нармаванай і метрычнай прасторах з'яўляюцца наступныя няроўнасці:

• ${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;$
• $|\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.$

Няроўнасць трохвугольніка для трохграннага вугла

Гл. таксама: Сферычная геаметрыя

Кожны плоскі вугал выпуклага трохграннага вугла меншы за суму двух другіх яго плоскіх вуглоў.