Twierdzenie Salmona

Twierdzenie Salmona – twierdzenie planimetrii: Jeśli z punktu leżącego na okręgu poprowadzono trzy cięciwy i na każdej z nich jako na średnicy zbudowano okrąg, to okręgi te przecinają się parami w trzech punktach leżących na jednej prostej.

Dowód

Niech $M,A,B,C$ oznaczają odpowiednio: dany punkt i końce danych trzech cięciw. Oczywiście leżą one na okręgu, nazwijmy go $\pi .$ Załóżmy, bez szkody dla ogólności, że leżą one na tym okręgu w tej właśnie kolejności.
Okręgi opisane na średnicach $MA,MB,MC$ oznaczmy jako $\pi _{A},\pi _{B},\pi _{C}.$

Przecięcia par okręgów $\pi _{A},\pi _{B};\pi _{B},\pi _{C};\pi _{C},\pi _{A}$ oznaczmy jako $P,Q,R$ odpowiednio.
Dokonajmy inwersji w punkcie M i dowolnym promieniu. Niech odpowiednie obiekty po tym przekształceniu mają nazwy primowane.

Z własności inwersji wynika, że:

• proste zawierające $MA,MB,MC$ przejdą na proste
• $\pi _{A}',\pi _{B}',\pi _{C}'$ są prostymi prostopadłymi do, odpowiednio, $MA',MB',MC'$ w punktach $A',B',C'$
• $\pi '$ jest prostą zawierającą $A',B',C'$

Co więcej, punkty $P,Q,R$ są współiniowe wtedy i tylko wtedy, gdy $M,P',Q',R'$ leżą na jednym okręgu.
Zauważmy teraz, że $\angle P'A'M=90^{\circ }=\angle P'B'M,$ zatem $P',A',B',M$ leżą na jednym okręgu. Analogicznie $M,A',C',R'$ oraz $M,B',C',Q'$ są współokręgowe.

Skoro trójki punktów $A',B',C'$ i $P',B',Q'$ są współliniowe, możemy zapisać, że:

$180^{\circ }-\angle MP'R'=\angle MP'A'=\angle MB'A'=180^{\circ }-\angle MB'C'=\angle MQ'C'$

Zatem na czworokącie $MP'Q'R'$ można opisać okrąg, skąd wynika, że punkty $P,Q,R$ leżą na prostej, c.n.d.

Bibliografia

• S.I. Zetel, Geometria trójkąta, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1964.