Matematiche Fascicolo primo/Tema I - Capitolo I
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TEMA PRIMO
§ I.
NUMERAZIONE.
1. Aritmetica è la Scienza de’ Numeri.
Confrontando l’idea semplice, che mi si presenta allo spirito, appena scoperta ed avvertita l’esistenza d’una cosa, con ciascuna delle idee composte, che l’una dopo l’altra io mi formo, allorchè, dopo avere scoperta pure ed avvertita l’esistenza d’un’altra cosa individuale simile alla precedente, poi d’un’altra, poi d’un’altra, e così di seguito, separatamente, considero di mano in mano la coesistenza simultanea di tutte coteste cose avvertite, mentre ho nella prima idea la nozione di unità, io acquisto in ciascuna delle seconde la nozione di numero, il quale si può riguardare come la collezione di più unitá.
Chiamo Numerazione l’operazione di riunire delle unità ad una per volta.
Per poco composto che sia un numero, siccome egli non si offre al mio spirito, che sotto l’idea vaga di moltitudine, se a ciascuna collezione d’unità io non impongo un segno scritto od articolato, per distinguerla dalla collezione precedente che ha una unità di meno, così io sento il bisogno di trovare un qualche metodo di numerare semplice e chiaro, per cui con un numero limitato di segni scritti od articolati io possa scrivere e proferire un numero qualunque di cose.
Vediamo, che metodo posso tenere.
2. Abbia io da numerare per es. una moltitudine di gettoni sparsi quà e là in confuso sulla mia tavola. Opero, come segue.
Porto tutti i diti delle mie mani sopra altrettanti di cotesti gettoni, e poi gli riunisco in un sol gruppo da parte.
Ripeto questa operazione sù i gettoni residui, finchè ne avanzino meno del numero de’ miei diti, e poi riunisco quest’ultimo avanzo in una casella quì fatta sulla tavola.
Prendo in seguito a considerare i gruppi messi da parte; e facendo sopra di essi, come se ciascuno fosse un solo gettone più grosso, le medesime operazioni che ho già fatte sopra i primi gettoni, metto da capo da parte i gruppi più grossi che ottengo, e colloco quelli, che avanzano in queste seconde operazioni, in una seconda casella a sinistra della precedente.
Ripetendo sopra i nuovi gruppi più grossi delle operazioni simili riunirò pure gl’ultimi gruppi residui in una terza casella a sinistra della seconda precedente.
Seguitando ad operare nello stesso modo arriverò finalmente a dover riunire in un’ultima casella a sinistra delle precedenti un numero di gruppi i più grossi di tutti, il quale sicuramente sarà minore del numero de’ diti tutti delle mie mani.
3. Potrebbe accadere, che al termine di ciascuna delle operazioni fatte non avanzassero, o punti de’ primi gettoni, o punti de’ primi gruppi, o punti de’ secondi..; In questo caso io lascerò vuota la casella, in cui di mano in mano collocherei l’avanzo, se vi fosse, di cotesti gettoni, o di cotesti diversi gruppi; e passerò per la collocazione dell’avanzo della operazione ulteriore alla casella, che segue a sinistra.
È certo però in ogni caso, che, sebbene vi possano rimanere più caselle consecutive vuote, la casella però ultima a sinistra, ove vanno collocati i gruppi i più grossi di tutti, vuota non resterà mai.
4. Raccolti in questa guisa tutti i miei gettoni, e distribuitili, come ho fatto, in gruppi della medesima grandezza per ciascuna casella dopo la prima, in cui si trovano gli spiccioli avanzati alla prima operazione, e di grandezza diversa da una casella all’altra, io concepisco, che quando sappia parzialmente formarmi una idea adequata del numero de’ gettoni spiccioli della prima casella, e del numero de’ diversi gruppi di ciascun’altra casella a sinistra, ed inoltre del numero de’ gettoni di ciascuno di questi gruppi, io concepisco, dico, che non mi riescirà gran fatto difficile il formarmi anche una idea adequata del numero totale dei miei gettoni.
Ora dietro le operazioni, che ho fatte, vedo
1.° Che il numero sì de’ gettoni della prima casella, sì de’ gruppi di ciascun’altra casella, è minor del numero de’ diti tutti delle mie mani.
2.° Che un gruppo solo della seconda casella si compone precisamente di tanti gettoni compagni a quelli, che io voglio numerare, quanti sono i diti tutti delle mie mani; e che in generale d’altrettanti gruppi, compagni a quelli d’una casella qualunque dopo la prima, si compone un gruppo solo della casella consecutiva immediatamente a sinistra.
Quindi concludo, che, quando io mi fossi già formata una idea chiara, e distinta di tutti quei pochi numeri, che posso rappresentarmi con i soli diti, tutti od in parte aperti, delle mie mani, e che io fissassi de’ segni e de’ nomi per esprimere in scritto, ed a voce cotesti diversi numeri, io sarei in grado, non solo di formarmi una idea distinta e chiara del numero totale de’ miei gettoni, ma di più con un numero limitato e di segni e di nomi saprei anche scrivere, e press’a poco proferire cotesto numero totale, comunque grande egli fosse.
5. Io suppongo qui d’essermi già formata una idea chiara e precisa de’ successivi numeri, che posso rappresentarmi aprendo, dopo il primo, tutti gli altri diti delle mie mani, e d’aver fissati e de’ nomi e de’ segni scritti per distinguere cotesti numeri l’uno dall’altro; perciò, dopo aver aperto il primo dito, e proferita la parola uno, scrivo per segno di questa parola, ossia per denotare l’unità, il segno 1, imagine di cotesto dito aperto e disteso; indi nell’atto che apro successivamente gli altri diti, e proferisco di mano in mano le parole due, trè, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove, dieci, ossia, come suol dirsi più brevemente, nell’atto che io conto, scrivo come segni respettivi de’ numeri espressi da coteste parole, eccettuata l’ultima, gli otto segni distinti o caratteri seguenti
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Per denotare il numero espresso dalla parola ultima dieci, io non impiego alcun carattere a parte, perchè non ne ho di bisogno.
6. Tornando adesso a’ miei gettoni io conto, secondo quello che ho imparato.
1.° I gettoni spiccioli della prima casella, i quali chiamo unità del prim’ordine, e poi scrivendo in essa il carattere corrispondente al loro numero, che sarà uno de’ nove precedenti, non escludendo il carattere 1, che denota l’unità, tolgo via cotesti gettoni.
2.° I gruppi della seconda casella, che io chiamo unità del second’ordine, come se ciascuno fosse un gettone dieci volte grosso più d’uno di quelli del prim’ordine; e poi, scrivendo in essa il carattere corrispondente al loro numero, tolgo via cotesti gruppi.
3.° I gruppi della terza casella, che io chiamo unità del terz’ordine, come se ciascuno fosse un’altro gettone dieci volte grosso più d’uno di quelli del second’ordine della seconda; e poi scrivendo in essa il carattere corrispondente al loro numero, tolgo via anche cotesti secondi gruppi.
E così di seguito fino all’ultima casella a sinistra.
Se accade, che vi sia qualche casella vuota, come ho di sopra (3) avvertito, allora per denotare questa circostanza vi scriverò il carattere 0, che chiamo zero.
Fatto ciò, e rammentandomi, che una unità del second’ordine per le operazioni fatte ne vale dieci di quelle del primo che una del terzo ne vale pure dieci di quelle del secondo, e generalmente, che una unità d’un cert’ordine ne vale sempre dieci di quelle d’un ordine immediatamente inferiore, è chiaro, che, se io imagino tolte di mezzo anche le caselle, e considero soltanto il sistema de’ caratteri, che ho scritti, questi pel loro significato assoluto, e per quello relativo alla loro località mi presenteranno, come all’occhio una imagine, così alla mente una idea adequata del numero totale de’ miei gettoni.
7. Facendo pertanto astrazione da cotesti gettoni, da ciò, che fin quì abbiamo visto apparisce, che inteso il significato de’ dieci caratteri seguenti
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che respettivamente si pronunziano zero, uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove, se si conviene «che due, o più di essi, diversi o compagni, essendo scritti l’uno immediatamente dopo l’altro da destra verso sinistra, l’ultimo scritto abbia un valore dieci volte più grande di quello del penultimo nella ipotesi, che questo fosse compagno, eccettuato però il primo carattere 0» noi siamo in grado di scrivere con essi soli un numero qualunque in astratto, comunque grande egli sia, e di formarci anche una idea adequata della di lui grandezza.
8. Questa convenzione suppone, è vero, che un certo numero di cose, composte ciascuna di dieci altre, si risolva in tante di queste seconde cose, in quante si risolve precisamente il medesimo numero di tali cose, ripetuto dieci volte; come per es., che trè gruppi di dieci gettoni l’uno si risolvano nel medesimo numero di gettoni, ne’ quali si risolvono dieci gruppi di trè gettoni l’uno; lo che è chiaro, perchè, decomponendosi ciascuno de’ trè primi gruppi in trè file orizzontali di dieci gettoni l’una, si hanno dieci file verticali, ciascuna delle quali si può riguardare come resultante dalla decomposizione d’un gruppo di trè gettoni.
9. Del resto il primo de’ precedenti dieci caratteri, cioè il carattere 0, che come segno di vuoto si chiama zero, si suol chiamare anche cifra; come pure si chiamano cifre anche gli altri nove caratteri; ma però essi son cifre significative, perchè hanno in se medesime un valore, mentre la cifra 0 non ha in se stessa valore alcuno.
Convenendo poi, che la parola cifre, e la parola numeri, de’ quali esse non sono, che puri segni scritti, siano come sinonimi, baratteremo in seguito spesso e volentieri queste due parole trà loro, ma ci rammenteremo sempre, che tali parole non sono, che segni d’idee resultanti da una operazione del nostro spirito, giacchè in questo mondo non v’è nulla che sia per se stesso due, trè, quattro....
Che anzi qualchè volta, come segni, chiameremo per estensione numeri anche le due cifre 0 ed 1, sebbene queste non presentino mai una tale idea.
10. Quanto abbiamo fin qui detto intorno alla Numerazione è piuttosto relativo alla Numerazione scritta, che alla Numerazione parlata.
Rendiamo adesso un pò più sensibile l’una e l’altra, facendo vedere come ambedue si praticano e che dependenza hanno tra loro; e nel medesimo tempo, perchè la seconda in bocca d’altri diversifica alcun poco da quella, che potremmo parlar noi co’ nomi fin quì proferiti, vediamo come possiamo metterci d’accordo coll’uso invalso.
A quest’oggetto ripigliamo la considerazione de’ nostri gettoni e delle nostre caselle.
11. Imaginiamo primieramente due caselle vuote.
Avendo fatta di tutti i gettoni una massa, separiamone ora un sol gruppo di dieci, e messolo in conformità a ciò, che si è detto di sopra (2) nella seconda casella, se in questa si scrive la cifra 1, e nella prima a destra la cifra 0, imaginando poi tolto il gruppo colle due caselle, si vede subito, che il numero espresso dalla parola dieci vien rappresentato dal sistema delle due cifre 10.
Se poi si prendono dalla massa altri nove gettoni, e fingendo di metterli, o d’averli messi, l’uno dopo l’altro nella prima casella vuota si scrive in questa di mano in mano la cifra corrispondente al numero, che vi se ne mette, appariranno successivamente scritti i nove numeri seguenti
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.
Questi numeri, secondo i nomi da noi fin qui proferiti, dovrebbero respettivamente pronunziarsi dieci-uno, dieci-due, dieci-trè, dieci-quattro, dieci-cinque, dieci-sei, dieci-sette, dieci-otto, dieci-nove;
12. Rimettiamo adesso i gettoni tutti alla massa; e poi, separando da essa nove gruppi di dieci gettoni l’uno, collochiamoli l’uno dopo l’altro, come si deve, nella seconda casella.
Scrivendo in questa di mano in mano la cifra significativa corrispondente, e nella prima tenendo ferma la cifra 0, compariranno scritti l’uno dopo l’altro i seguenti nove numeri
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
Posta mente in ciascuno di questi numeri alla seconda cifra, ch’è significativa, e tacendosi la prima, il primo di essi pronunziandosi dieci, o chiamandosi un-dieci, gli altri si potrebbero respettivamente pronunziare
13. Dopo aver rimessi alla massa i nostri gettoni, imaginiamo adesso trè caselle vuote; e poi, separati da essa dieci gruppi di dieci gettoni l’uno, e fattone di tutti un gruppo solo, se per notare, che questo và messo nella terza casella, che gli appartiene, si scrive in questa la cifra 1, ed in ciascuna delle altre due caselle si scrive la cifra 0, ne resulterà il sistema delle trè cifre 100 per rappresentare il numero de’ gettoni, di cui si compone cotesto ultimo gruppo più grosso.
Siccome un tal gruppo è composto di dieci gruppi di dieci gettoni l’uno, così la terza cifra del numero 100, tacendosi le altre due, potrebbe pronunziarsi dieci-dieci; ma noi la pronunzieremo cento, all’oggetto di render più semplice il discorso, e di dare un nome alla unità del terz’ordine, come ne abbiamo dato uno a quella del secondo, che si è chiamata dieci.
Presi in seguito dalla massa altri otto gruppi compagni all’ultimo precedente più grosso, ed imaginandoli collocati l’uno dopo l’altro nella terza casella, ove già trovasi cotesto gruppo, se di mano in mano vi si scrive la cifra corrispondente al loro numero, appariranno successivamente scritti gli otto numeri seguenti 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, che col nome già dato di cento o d’un-cento al numero 100 si pronunzieranno respettivamente
14. I nomi fin qui proferiti bastano per enunziare o leggere un sistema qualunque di trè cifre, delle quali la prima a sinistra sia sempre significativa, potendo le altre essere significative o nò.
All’oggetto poi di rendersi familiare e la scrittura e la nomenclatura insieme di tutti i numeri, che si possono dipingere all’occhio con due o trè cifre al più e nello stesso tempo per farsi una idea anche più chiara della loro attual composizione colla unità, s’imagini, che, versando de’ gettoni ad uno per volta nella prima a destra delle trè caselle vuote, ogni volta che si arriva a dieci gettoni, se ne faccia un gruppo, e questo si porti nella seconda casella a sinistra; e che ogni volta che quì pure s’arriva a dieci gruppi se ne faccia di tutti uno più grosso, e questo si porti nella terza casella a sinistra della precedente, ove c’arresteremo. Contemporaneamente a questa operazione scrivendo di mano in mano in ciascuna casella la cifra dovuta, significativa o nò, e pronunziando i nomi che competono a ciascuna cifra ed al suo posto, nel sistema di non più di trè cifre, che ne resulterà, ci verrà fatto di enunciare o leggere il numero corrispondente de’ gettoni versati.
15. Indipendentemente da’ gettoni, o da altri oggetti qualunque sarà bene esercitarsi a leggere un numero scritto con trè cifre a piacere, di cui la prima a sinistra sia sempre significativa; e se si provasse della difficoltà ad enunciarne qualcheduno, come per es. il numero 111, rammentandosi che la prima cifra a sinistra si pronunzia cento, e che il sistema delle altre due si pronunzia undici, esso s’enunzierà subito centundici.
In generale ne’ numeri di trè cifre la prima significativa a sinistra denota sempre de’ centi; il sistema poi delle altre due denota un numero, che si pronunzia facilmente per ciò che precede, tacendo gli zeri, se ve ne sono.
Così il numero 725 s’enunzia settecento venticinque, ed il numero 901 s’enunzia novecentuno, come il numero 910 s’enunzia novecento dieci.
16. Il più gran numero, che si possa scrivere con sole trè cifre è visibilmente 999, il quale s’enunzia novecento novantanove.
Rappresentando il sistema di queste tre cifre un determinato numero di gettoni, 9 dei quali sono stati collocati nella prima casella, 9 primi gruppi nella seconda e 9 secondi gruppi nella terza, è facil vedere, che, se s’aggiunge loro un gettone di più, il numero consecutivo, che ne risulterà, anderà rappresentato col sistema delle quattro cifre 1000.
Infatti, versando un gettone di più nella prima casella, si vede, che quì dovrà farsi un gruppo e questo portarsi nella seconda, ove di questi gruppi se ne trovano già 9 altri; però di tutti questi gruppi se ne farà pure uno nuovo, che si porterà nella terza, dove si farà un terzo gruppo più grosso, che anderà portato in una quarta casella.
In questa guisa rimanendo vuota, la prima, la seconda e terza casella, e trovandosi un gruppo solo nella quarta, scrivendosi in ciascuna casella la cifra dovuta si presenterà scritto il numero 1000, come si dicea.
Questo numero, ch’equivale a dieci-centi si pronunzia mille per denotare una unità del quart’ordine, posta mente soltanto alla prima cifra significativa a sinistra.
17. Posto ciò, ecco come con una semplice convenzione si può, senza pensar più a’ nostri gettoni, enunciare un numero qualunque in astratto, scritto con quante mai cifre si vogliano.
Si separino, o s’imaginino separate le cifre di cotesto numero con una o più virgole in sistemi o parti di trè cifre ciascuna da destra verso sinistra, non curandosi che l’ultima parte, cioè la prima a sinistra, resti di due ed anche d’una cifra sola. La prima cifra a destra di ciascuna di queste parti, denotando per quello, che si è detto (6), unità respettivamente del 1°, 4°, 7°, 10°, 13°, .. ordine, è visibile, che una unità dell’ordine 4° valendone mille di quelle del 1.° (16), una del 7°, 10° 13°, .. ne varrà pur mille respettivamente di quelle del 4°, 7°, 10°, ...
Come dunque il numero astratto, che compone una unitá del 4.° ordine in confronto d’una unità del 1.°, ossia d’una unità semplice, si chiama mille, così
1.° Il numero, che compone una unità del 7.° ordine, e che si può pur chiamar mille in confronto d’una unità del 4° si chiami millone, o milione in confronto della medesima unità semplice.
2.° Il numero, che compone una unità del 10.° ordine, e che si può pur chiamar mille in confronto d’una unità del 7.° ordine e milione in confronto d’una unità del 4° si chiami bilione in confronto della medesima unità semplice.
3.° Il numero, che compone una unità del 13.° ordine, e che si può pur chiamar mille in confronto d’una unità del 10°, un milione in confronto d’una unità del 7°, ed un bilione in confronto d’una unità del 4° si chiami trilione in confronto della medesima unità semplice primitiva.
E così, via discorrendo, si usino successivamente le parole quadrilione, quintilione, sestilione, ....
In questa guisa il numero parziale di trè cifre, che costituisce la prima delle parti, in cui è stato spezzato il numero totale proposto, essendo un numero di unità semplici, le quali si possono anche chiamare uni, quello, che costituisce la seconda, terza, quarta, quinta, ... parte sarà un numero respettivamente di milli, milioni, bilioni, trilioni, ...
Enunciando dunque co’ nomi di già imparati (15) ciascuna di queste parti, ed a cominciar da destra verso sinistra all’enunciato della seconda parte aggiungendo la parola milli o mila, a quello della terza la parola milioni, a quello della quarta la parola bilioni, od anche milliardi,, se si vuole; a quello della quinta la parola trilioni, e così di seguito, il numero totale proposto, di quali e quante mai cifre si componga, leggendolo co’ medesimi nomi anche alla rovescia, cioè da sinistra verso destra, si potrà sempre completamente enunciare; e per le molte riflessioni già fatte avremo anche una idea abbastanza chiara e precisa della di lui grandezza.
18. Bisogna rammentarsi per maggior speditezza, che, quando a sinistra di qualche cifra significativa in una parte si trovano uno o due zeri, questi nell’enunciato si tacciono; come si taccion pure tre zeri insieme, che formano una medesima parte intiera.
Avvertiremo anche, che senza stare ad adoprar virgole per enunciare un numero scritto, acciò le parti, nelle quali si riguarda come spezzato, si distinguano trà loro, noi le potremo scrivere un pò discoste l’una dall’altra.
Così per es. invece di scrivere
Viceversa non è difficile lo scrivere un numero, di cui si abbia l’enunciato; per es. un milliardo-uno si scrive 1 000 000 001.
Esercitiamoci molto ad enunciar de’ numeri scritti, ed a scrivere degli enunciati di numeri, abituandosi a scriver le cifre del numero alla rovescia dell’enunciato, cioè da destra verso sinistra, in conformità al nostro sistema di Numerazione scritta, giacchè così si rischierà meno di commetter degli sbagli.
19. Prima di passare ad altro si può osservare, che un numero già scritto si rende per le nostre convenzioni di mano in mano tante volte dieci volte più grande, ossia tante diecine di volte di mano in mano più grande, quanti zeri gli si scrivono di seguito a destra, cioè dieci volte scrivendo uno zero, cento volte scrivendo due zeri, mille volte scrivendone trè; e così di seguito.
Viceversa un numero si renderà dieci, cento, mille, .. volte più piccolo, quando gli si sopprimano respettivamente uno, due, tre, ., ... zeri, che esso abbia di seguito a destra.
Quanti mai zeri poi si scrivano a sinistra d’un numero, essi non gli fanno cangiar valore, cioè il significato delle sue cifre rimarrà sempre lo stesso; e ciò in conformità alle nostre convenzioni (7).
Del resto in un numero scritto, come si è detto (18), mentre le cifre della prima parte a cominciar da destra verso sinistra si chiamano respettivamente unità, diecine e centinaja semplici, quelle della seconda si dicono unità, diecine, centinaja di migliaja; quelle della terza unità, diecine, centinaja di milioni; quelle della quarta unità, diecine, centinaja di bilioni, o milliardi; e così di seguito
20. Avvertiremo anche qui un’altra volta per sempre, che conservando alle cifre, di cui è composto un numero scritto, oltre al valore assoluto, anche il loro valore locale, noi baratteremo pur volentieri in seguito, come per una cifra sola s’è avvertito anche di sopra (9), la parola numero nella parola cifre, e viceversa; di modo che volendosi su i numeri praticare alcune operazioni, come d’ora in avanti andiamo a vedere, quando diremo d’operare, o di dovere operare sopra una o più cifre, intenderemo sempre che si operi o debba operarsi sul numero rappresentato dal complesso o sistema di coteste cifre medesime.