Matematiche Fascicolo primo/Tema I - Capitolo II/Caso II
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CASO II.
6. La operazione dell’Addizione si semplicizza assai, quando i numeri da addizionarsi sono tutti uguali trà loro.
In tal caso scrivendo cotesti numeri in colonna, come si è detto (2), si vede, che per ottenerne la somma non si ha da far altro, che ripetere per ciascuna colonna una certa cifra costantemente il medesimo numero di volte; e che però, se avessimo preventivamente sott’occhio le somme, od i resultati, che possono ottenersi ripetendo una certa cifra un numero proposto di volte, noi otterremmo, quasi a colpo d’occhio, la somma che si cerca.
Ma ciò non potendosi ottenere in generale, noi ci contenteremo di porre sott’occhio soltanto que’ pochi resultati, che si ottengono nel caso particolare, in cui il numero delle volte sia anch’esso d’una cifra sola, e questa non più grande dell’altra; ed essi soli basteranno al nostro scopo, come vedremo.
7. A cotest’oggetto io incomincio dal far nove file disuguali di caselle, cioè la prima di nove caselle, la seconda di otto, la terza di sette, ...; e colloco coteste file orizzontalmente l’una sotto l’altra, in modo che le ultime caselle a destra siano in fila verticale. Fatto ciò, e dopo avere scritte nella prima fila orizzontale, una per casella, da sinistra verso destra, le nove cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
1.° Addiziono queste cifre, eccettuata la prima, ciascuna a se stessa; e scrivo le somme, che trovo, una per casella, nella seconda fila orizzontale.
2.° Addiziono a queste somme, eccettuata la prima, le medesime cifre, eccettuate le prime due; e scrivo le nuove somme, che trovo, una per casella, nella terza fila orizzontale.
3.° Addiziono da capo a queste seconde somme, eccettuata la prima, quelle medesime cifre, eccettuate le prime trè; e scrivo le terze somme, che trovo, una per casella, nella quarta fila orizzontale; e così di seguito.
Dopo queste operazioni apparisce, che, marcando a sinistra ciascuna fila orizzontale, a cominciar dalla prima, co’ respettivi segni 1. v, 2. v, 3. v, 4. v, 5. v, 6. v, 7. v, 8. v, 9. v, che si pronunzino una volta, due volte, tre volte, ...., nove volte, se nell’atto che si dice per es. cinque volte 7, si cerchi la cifra 7 nella prima fila orizzontale, e quindi si discenda verticalmente alla casella della fila, marcata 5. v, si troverà in questa casella il numero 35, che resulta dal ripetere cinque volte la cifra 7.
Ecco il prospetto di tutte queste operazioni nella seguente Tavola, che dicesi di Pittagora.
| 1. v. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 2 v. | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | |
| 3 v. | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | ||
| 4 v. | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | |||
| 5 v. | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | ||||
| 6 v. | 36 | 42 | 48 | 54 | |||||
| 7 v. | 49 | 56 | 63 | ||||||
| 8 v. | 64 | 72 | |||||||
| 9 v. | 81 | ||||||||
8. S’impari a mente questa tavola; e sebbene essa non ci somministri che quei pochi resultati, i quali si ottengono col ripetere una cifra per un’altra, che non sia maggior di lei, pure avremo in essi anche quelli per una cifra maggiore, quando si barattino le due cifre trà loro; ciò che si può, giacché per es. 7 file orizzontali di 5 gettoni ciascuna, collocate l’una sotto l’altra, formando 5 file verticali di 7 gettoni ciascuna, si vede, che 5 volte 7 ci dà lo stesso numero, che 7 volte 5.
Del resto, conformandosi all’uso, per maggior speditezza la lettera v, invece di volte, si pronunzierà via, sebbene fosse meglio pronunziarla fia, che vuol dir fiata.
Passiamo ora a qualch’esempio d’applicazione
1.° Si debbano addizionare 7 numeri compagni al numero 725; ossia si debba ripetere 7 volte il numero 725.
| 725 | ||
| 725 | ||
| 725 | ||
| 725 | ||
| 725 | ||
| 725 | ||
| 725 | ||
| 5 | 075 | Somma |
Ma per trovar più speditamente una tal somma per mezzo della Tavola di Pittagora, dopo avere scritta la cifra 7 sotto l’ultima cifra del numero 725 da ripetersi, e tirato frego, io dico e fò così...
«5 via 7, 35 (Ritengo 3 e segno 5).
2 via 7, 14; e 3 di ritenuto, 17. (Ritengo 1, e segno 7).
7 via 7, 49; e 1, 50. (Segno 50).
Ecco il tipo del calcolo
| 725 | ||
| 7 | ||
| 5 | 075 | Somma |
2.° Si debba ripetere 9 volte il numero 7 345.
Ecco il tipo del calcolo
| 7 | 345 | |
| 9 | ||
| 66 | 105 | Somma |
«5 via 9, 45. (Ritengo 4, e segno 5)
«4 via 9, 36; e 4, 40. (Ritengo 4, e segno 0)
«3 via 9, 27; e 4, 31. (Ritengo 3, e segno 1)
«7 via 9, 63; e 3, 66. (Segno 66).
9. Nell’uno e nell’altro de’ due precedenti esempj le cifre da ripetersi erano tutte significative: se qualcheduna non fosse stata tale, cioè, se fosse stata la cifra 0, allora dicendosi per convenzione, per es. sette via zero, o nove via zero, si sarebbe fatto bene a dire pure zero; e, se niente vi fosse stato di ritenuto, si sarebbe segnata la cifra 0; diversamente quella del ritenuto.
La ragione di ciò è chiara, perchè in un’addizione, se le caselle d’una colonna sono tutte vuote, non può aversi da quella colonna somma alcuna; e così resta vuota anche la casella corrispondente, che s’imagina sotto il frego, quando non vi sia da portar nulla dalla colonna precedente a lei.
3.° Dovendosi per es. ripetere 4 volte il numero 7 080 130, ecco il tipo del calcolo
| 7 | 080 | 130 | |
| 4 | |||
| 28 | 320 | 520 | Somma, |
«4 via 0, 0. (Segno 0).
«3 via 4, 12. (Ritengo 1, segno 2).
«1 via 4, 4; e 1 5. (Segno 5)
«4 via 0, 0. (Segno 0)
«4 via 8, 32. (Ritengo 3, e segno 2)
«4 via 0, 0; e 3, 3. (Segno 3)
«4 via 7, 28. (Segno 28).
10. Negli esempj precedenti abbiamo supposto, che il numero delle volte, che dovea ripetersi un dato numero, fosse d’una cifra sola.
Se cotesto numero fosse di più cifre, la operazione non presenterebbe maggior difficoltà: solamente in questo caso, invece d’effettuarsi in una volta sola, essa s’effettuerebbe in più volte.
Per vedere, come ciò succeda, supponghiamo di dover ripetere un numero dato un numero qualunque proposto di volte, di cui le cifre siano tutte significative, com’è per es. il numero 532. E visibile, che la operazione si potrà decomporre in trè altre operazioni parziali; vale a dire, si potrà ripetere il numero dato prima 2 volte, poi 30; e poi 500 volte.
Fatta adunque, come si sà, la prima di queste operazioni, passeremo per la seconda a ripetere 30 volte, o (ciò ch’è lo stesso in virtù del nostro sistema di Numerazione) 3 volte una diecina di volte il suddetto dato numero; ma per ripetere un tal numero una diecina di volte, ossia per renderlo dieci volte maggiore, basta (pel medesimo sistema di Numerazione) figurarsi, ch’esso esprima delle diecine in cambio d’unità semplici; dunque la operazione seconda si riduce a ripetere, come si sà fare, 3 volte il dato numero, reputato adesso di diecine; e però a scrivere il secondo resultato, che si troverà, sotto il primo in modo, che la prima cifra a destra di quello corrisponda in colonna alla seconda di questo. Con un simil ragionamento si prova, che la terza operazione si riduce a ripetere 5 volte il numero dato; e quindi a scrivere il terzo resultato sotto il secondo precedente, in modo che la prima cifra di quello corrisponda in colonna alla seconda di questo. Si conclude dunque, che scritto il numero proposto 532 sotto il numero dato in modo, che le unità del medesimo ordine si corrispondano in colonna, e poi tirato frego; se ripetendo, come si sà, il numero superiore di mano in mano per ciascuna cifra dell’inferiore, si scrive il resultato di ciascuna ripetizione in modo, che la sua prima cifra corrisponda in colonna a quella, per cui si fà una tal ripetizione, la somma di tutti questi resultati così scritti sarà quella, che si cerca.
Ecco il tipo del calcolo pel caso, in cui, essendo 532 il numero proposto, il numero dato è 2 327.
| 2 | 327 | ||
| 532 | |||
| 4 | 654 | ||
| 69 | 81 | ||
| 1 | 163 | 5 | |
| 1 | 237 | 964 | Somma |
Se il numero proposto non ha tutte le sue cifre significative, siccome si può sempre riguardare come decomposto in più numeri parziali, che siano soltanto le sue cifre significative seguite da degli zeri, è facil persuadersi, che la ripetizione per cotesto numero del numero dato si ridurrà sempre a quella per ciascuna delle sue cifre significative soltanto.
Essendo per es. 47 032 il numero dato, e 5 009 il proposto, ecco il tipo del calcolo
| 47 | 032 | ||
| 5 | 009 | ||
| 423 | 288 | ||
| 235 | 160 | ||
| 235 | 583 | 288 | Somma |
11. Chiamandosi moltiplicazione la operazione di ripetere un numero qualunque dato un certo numero proposto di volte, noi chiameremo pure moltiplicando il primo di questi numeri, e moltiplicatore il secondo.
La somma poi prodotta dalla moltiplicazione dirassi prodotto di cotesti due numeri.
Pertanto per moltiplicare due numeri trà loro, ed averne il prodotto, da ciò che precede resulta
«1.° Che per moltiplicare un numero di più cifre per quello d’una cifra sola, si moltiplica, come si sà dalla Tavola di Pittagora, a cominciar da destra, ciascuna cifra del moltiplicando per la cifra del moltiplicatore, coll’avvertenza di scriver soltanto le unità di ciascun prodotto sotto la cifra del moltiplicando, che le ha date, ritenendo le diecine, se ve ne sono, per riunirle al prodotto seguente».
«2.° Che per moltiplicare un numero di più cifre per un’altro parimente di più cifre, dopo avere scritto questo sotto quello, in modo che le unità del medesimo ordine si corrispondano in colonna, e tirato frego, si moltiplica di mano in mano il moltiplicando per ciascuna cifra significativa del moltiplicatore, (come ora si è detto 1.°); e scrivendo ciascun prodotto parziale in modo, che le sue unità semplici restino sotto la cifra significativa del moltiplicatore, la quale le ha date, si fà la somma di tutti i prodotti parziali ottenuti».
Ecco il tipo del calcolo di parecchj esempj per servir d’esercizio
| 886 | 633 | 53 | 687 | 870 | 497 | ||||
| 777 | 908 | 500 | 407 | ||||||
| 6 | 206 | 431 | 429 | 496 | 6 | 093 | 479 | ||
| 62 | 064 | 31 | 48 | 318 | 3 | 348 | 198 | 8 | |
| 620 | 643 | 1 | 435 | 248 | 5 | ||||
| 48 | 747 | 796 | |||||||
| 688 | 913 | 841 | 435 | 602 | 792 | 279 | |||
| 5 | 554 | 444 | 7 | 324 | 213 | 889 | ||
| 79 | 765 | 79 | 872 | |||||
| 27 | 772 | 220 | 14 | 648 | 427 | 778 | ||
| 333 | 266 | 64 | 512 | 694 | 972 | 23 | ||
| 3 | 888 | 110 | 8 | 5 | 859 | 371 | 111 | 2 |
| 49 | 989 | 996 | 65 | 917 | 925 | 001 | ||
| 388 | 811 | 08 | 512 | 694 | 972 | 23 | ||
| 443 | 050 | 225 | 660 | 584 | 999 | 611 | 742 | 208 |
| 43 | 782 | 7 | 301 | 230 | 000 | |||||
| 43 | 782 | 921 | 005 | 000 | ||||||
| 87 | 564 | 3 | 650 | 615 | ||||||
| 3 | 502 | 56 | 730 | 123 | ||||||
| 30 | 647 | 4 | 14 | 602 | 46 | |||||
| 131 | 346 | 6 | 57 | 110 | 7 | |||||
| 1 | 751 | 28 | ||||||||
| 6 | 724 | 469 | 636 | 150 | 000 | 000 | ||||
| 1 | 916 | 863 | 524 | |||||||
12. Del resto nel caso particolare, in cui il moltiplicando od il moltiplicatore, od ambedue sono terminati da degli zeri, la operazione s’abbrevia, facendola come se cotesti zeri non vi fossero, e poi restituendoli tutti di seguito al prodotto, come nell’esempio ultimo. Inoltre, siccome in ogni caso i prodotti parziali, che di mano in mano si fanno, sono tanti, quante sono le cifre significative del moltiplicatore, così, se queste saranno più delle significative del moltiplicando, all’oggetto di fare il minor numero possibile di prodotti parziali, l’addizione de’ quali riesca poi più facile, noi baratteremo volentieri il moltiplicatore ed il moltiplicando tra loro, sicuri di giunger sempre al medesimo resultato, per le stesse ragioni di sopra (8) nel caso, in cui essi erano ciascuno d’una cifra sola.
13. Dopo aver fatta la moltiplicazione d’un numero per un’altro, ed averne ottenuto il prodotto niente impedisce di moltiplicar da capo un tal prodotto per un terzo numero; ed il nuovo prodotto, che s’ottiene, per un quarto numero; e così di seguito col medesimo ordine.
In quanto che cotesti numeri concorrono tutti alla formazione, o fattura, dell’ultimo prodotto che si ottiene, si sogliono chiamare fattori d’un tal prodotto.
14. Prima di lasciar da parte i nostri gettoni, noi dimostreremo col loro mezzo la seguente general proposizione.
«Qualunque sia il numero de’ fattori, che concorrono a formare un prodotto, il valore di un tal prodotto resulterà sempre il medesimo in qualunque ordine cotesti fattori si moltiplichino trà loro».
Per render più semplice, che sia possibile, la dimostrazione d’una tal proposizione, in primo luogo, chiamandosi per ordine primo, secondo, terzo, quarto... i fattori, di cui si tratta, noi gli denoteremo respettivamente per (1), (2), (3), (4), ...; e per rappresentarne il prodotto noi interporremo ad essi la preposizione per, come segue
(1) per (2) per (3) per (4).....
In secondo luogo, osservando, che per permutare trà loro in tutti i modi possibili un numero qualunque di fattori, basta, che stando fisso ognuno di essi in un dato posto, come per es. nell’ultimo, gli altri si permutino trà loro in tutti i modi possibili, è facil persuadersi, che, siccome permutandosi trà loro i due fattori (1), (2) si hanno i due prodotti (1) per (2), (2) per (1), così, ognuno de’ trè fattori (1), (2), (3) stando fisso nel terzo posto, mentre gli altri due si permutano trà loro, si avranno i sei prodotti seguenti
(1) per (2) per (3), (2) per (1) per (3);
(1) per (3) per (2), (3) per (1) per (2);
(2) per (3) per (1), (3) per (2) per (1);
Ecco, come col soccorso de’ nostri gettoni si può dimostrare
Che i due prodotti di due fattori avranno lo stesso valore;
Che i sei prodotti di trè fattori avranno lo stesso valore;
Che i ventiquattro prodotti di quattro fattori avranno lo stesso valore;
Prendendo dalla massa de’ nostri gettoni quanti mai gruppi compagni si vogliano, disponiamoli orizzontalmente in più file uguali trà loro, in modo, che si formino contemporaneamente anche più file verticali uguali; e vediamo, come si può ottenere il numero dei gettoni di tutti cotesti gruppi.
Volendosi in primo luogo il numero de’ gettoni de’ gruppi di una sola fila orizzontale, è chiaro ch’esso s’otterrà facendo
«Il prodotto del numero de’ gettoni d’un gruppo pel numero de’ gruppi d’una fila orizzontale.
S’imagini adesso, che di tutti i gruppi di ciascuna fila orizzontale siasi fatto un solo gruppo più grosso; è chiaro pure, che di questi secondi gruppi più grossi se ne avranno tanti, quanti erano quelli più piccoli, che formavano una sola fila verticale.
Volendosi dunque in secondo luogo il numero de’ gettoni di tutti questi secondi gruppi più grossi, ossia il numero totale de’ gettoni presi alla massa, bisognerà moltiplicare il prodotto precedente, che rappresenta ora il numero de’ gettoni d’un sol gruppo più grosso, pel numero de’ primi gruppi d’una sola fila verticale.
Si conclude dunque definitivamente, che
«Il prodotto del numero de’ gettoni d’un gruppo pel numero de’ gruppi d’una fila orizzontale, moltiplicato pel numero di quelli d’una fila verticale».
Ma, invece di cominciare a fare questo prodotto, prima per mezzo de’ gruppi d’una fila orizzontale, e poi per mezzo di quelli d’una verticale, noi potevamo viceversa incominciare prima da una fila verticale, e poi passare ad una fila orizzontale.
Barattando dunque nel prodotto precedente trà loro le due parole orizzontale e verticale, si conclude pure definitivamente che
«Il prodotto del numero de’ gettoni d’un gruppo pel numero de’ gruppi d’una fila verticale, moltiplicato pel numero di quelli d’una fila orizzontale»
Astraendo dunque da’ nostri gettoni, e supponendo che il numero di quelli d’un sol gruppo resulti dal fare il prodotto di più altri numeri, ciò che sempre si può, si conclude.
«Che in un prodotto di più fattori si possono sempre barattare trà loro i due ultimi, senza che il valore d’un tal prodotto si alteri».
Siccome nel caso particolare, in cui a ciascun gruppo si fosse sostituito un solo gettone respettivo, il numero totale de’ gettoni presi alla massa si sarebbe ottenuto moltiplicando il numero di quelli d’una fila orizzontale pel numero di quelli d’una fila verticale, egualmente che viceversa, così in un prodotto di due fattori soli questi si possono pure barattare trà loro, senza che il suo valore si alteri.
Quindi segue, che in un prodotto da farsi di più fattori potendosi di mano in mano riguardar come fatto il prodotto de’ primi due, trè, quattro...., siccome in ciascuno di questi prodotti parziali si può portare il primo fattore nel secondo posto, il secondo nel terzo, il terzo nel quarto... senza ch’esso si alteri, così in un prodotto d’un numero qualunque di fattori questi si potranno portare ad uno per volta tutti nell’ultimo posto senza, che il prodotto totale si alteri.
Torniamo adesso a considerare i prodotti di sopra di due, o di trè, o di quattro.... fattori.
Considerando un prodotto di due fattori, siccome permutandosi questi trà loro il prodotto non si altera, così i due prodotti di sopra, di due fattori l’uno, hanno lo stesso valore.
Considerando un prodotto di trè fattori, siccome portandosi ciascuno di questi nel terzo posto, e poi permutandosi tra loro gli altri due, il prodotto non si altera, così i sei prodotti di sopra, di trè fattori l’uno, hanno lo stesso valore.
Considerando un prodotto di quattro fattori, siccome portandosi ciascuno di questi nel quarto posto, e poi permutandosi trà loro gli altri trè, il prodotto non si altera, così i ventiquattro prodotti di sopra, di quattro fattori l’uno, hanno lo stesso valore.
Generalmente, considerando un prodotto d’un numero qualunque di fattori, siccome portandosi ciascuno di questi nell’ultimo posto, e poi permutandosi trà loro gli altri, il prodotto non si altera, così tutti i differenti possibili prodotti di sopra d’un medesimo ed arbitrario numero di fattori hanno lo stesso valore.
Apparisce inoltre che il numero di tutte le possibili permutazioni tra più fattóri si ottiene col moltiplicare il numero di questi pel numero delle permutazioni, fattibili con un fattore di meno.
15. Ciò, che si è detto intorno alle permutazioni, ci pone in grado di assegnare, indipendentemente dal modo ordinario, la somma di tutti i numeri, che resultano da un numero dato qualunque scritto, permutando trà loro in tutti i modi possibili le sue cifre.
Trattando le cifre del numero dato, come fattori d’un prodotto, siccome tutti i numeri, che risultano da tutte le possibili permutazioni trà coteste cifre, s’ottengono collo scrivere di mano in mano ciascuna cifra in un determinato posto, e nel medesimo tempo col permutar le altre trà loro in tutti i modi possibili, così nel nostro sistema di Numerazione ciascuna cifra avendo un valore, che si ottiene col moltiplicarla o per 1, o per 10, o per 100, .... secondo che essa si trova, a cominciar da destra, o nel primo, o nel secondo, o nel terzo... posto, con un pò di riflessione è facile persuadersi, che le cifre del numero dato, relativamente alla posizione che possono avere in tutti i numeri, de’ quali si vuole la somma, considerate ciascuna
1.° Come situate nel primo posto, avranno nel loro insieme un valore, che si calcolerà col fare il prodotto del numero di tutte le permutazioni trà coteste cifre, eccettuatane una (il qual numero può denotarsi col segno (1)), moltiplicato per la somma di tutte, e poi per 1.
2.° Come situate nel secondo posto, avranno nel loro insieme un valore, che si calcolerà col fare il prodotto del numero (1) moltiplicato per la medesima somma, e poi per 10.
3.° Come situate nel terzo posto, avranno nel loro insieme un valore, che si calcolerà col fare il prodotto del medesimo numero (1) per la loro somma medesima e poi per 100.
Quindi si conclude, che denotandosi col segno (2) il numero, che resulta dal fare il prodotto del numero (1) per la somma delle cifre del numero dato, tali quali sono isolate; e reputando cotesto medesimo numero (2) di mano in mano come un numero di unità semplici, di diecine, di centinaja, ..., se esso si scrive convenientemente tante volte, quante sono le cifre del numero dato, la somma de’ numeri così scritti sarà la somma voluta.
Se per es. 271 è il numero dato di trè cifre; siccome 2 è il numero delle permutazioni trà due cifre, e 10 è quello della somma di tutte e trè, scrivendo il prodotto 20 di 2 per 10, trè volte come segue
| 20 | |
| 20 | |
| 20 | |
| 2 220 | Somma |
Se il numero dato fosse 201, essendo 6 il prodotto di 2 per 3, si avrebbe
| 6 | |
| 6 | |
| 6 | |
| 666 | Somma |