余因子行列

数学の線形代数学において、 $n$ 次正方行列 $A$ の余因子行列（よいんしぎょうれつ、英: adjugate matrix）あるいは古典随伴行列（こてんずいはんぎょうれつ、英: classical adjoint matrix）とは、 $(i, j)$ 成分が $(i, j)$ 余因子である行列の転置行列のことであり^[1]、記号で $\operatorname {adj} (A)$ , $\operatorname {Cof} (A)$ , ${\widetilde {A}}$ ^[2] などで表す。これは $n$ 次正方行列になる。

単に $(i, j)$ 成分が $(i, j)$ 余因子である行列（転置をしない）を「余因子行列」と呼ぶ場合もある。随伴行列や随伴作用素とは異なる。

余因子行列により、正則行列の逆行列を具体的に成分表示することができる。

定義

可換環 $R$ 上の $n$ 次正方行列 $A = (a i, j)$ の余因子行列とは、 $(i, j)$ 成分が $(j, i)$ 余因子である $n$ 次正方行列のことであり、記号で $\operatorname {adj} (A)$ , ${\widetilde {A}}$ ^[2] などで表す。

$A$ の $(i, j)$ 小行列式を $M i, j$ で表すことにする。これは、 $A$ の第 $i$ 行、第 $j$ 列を除いてできる $(n - 1)$ 次小正方行列の行列式である：

\operatorname {adj} (A)=(b_{i,j}),\quad b_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{j,i}

$A$ の $(i, j)$ 余因子を $~ a i, j$ で表すと、

{\widetilde {a}}_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}

\operatorname {adj} (A)=(b_{i,j}),\quad b_{i,j}=({\widetilde {a}}_{j,i})

$A$ を余因子展開は、 $A$ の余因子行列 $~ A$ により、次のように表せる：

A{\widetilde {A}}={\widetilde {A}}A=(\det(A))I

ここで $I$ は単位行列である。

$A$ が特に正則行列のとき、 $A$ の逆行列は余因子行列 $~ A$ で表せる：

A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\widetilde {A}}

例

1次

$1$ 次正方行列 $A = (a)$ の余因子行列は、 $A$ が零行列でないときは、 $1$ 次単位行列

I={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}

である。 $\operatorname {adj} (0)$ は慣習上 $0$ とする。

2次

$2$ 次正方行列

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

の余因子行列は

\operatorname {adj} (A)={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}

なお、この $2$ 次の場合は $\operatorname {adj} \operatorname {adj} A=A$ が成り立つ。

3次

$3$ 次正方行列

A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}

の余因子行列を考える。 $(i, j)$ 成分に $(i, j)$ 余因子を並べたものは、

C={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},

ここで

{\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}=\det {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}

である。余因子行列はこれの転置行列であるから、

\operatorname {adj} (A)=C^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}

数値計算

例えば、実3次正方行列

A={\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}

の余因子行列は、

\operatorname {adj} A={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}

となる。実際、余因子行列の $(2,3)$ 成分は $(3,2)$ 余因子であり、それは $(3,2)$ 小行列式（第3行、第2列を除いた小行列の行列式）に符号を掛けたものに等しい：

(-1)^{3+2}\operatorname {det} {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1

性質

$A$ を $n$ 次正方行列とする。

$\operatorname {adj} (O)=O$ （ $O$ は零正方行列）
$\operatorname {adj} (I)=I$ （ $I$ は単位行列）
$\operatorname {adj} (cA)=c^{n-1}\operatorname {adj} (A)$ （ $c$ はスカラー）
$\operatorname {adj} (A^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (A)^{\mathsf {T}}$ （ $T$ は転置を表す）
$\det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1}$
A が正則なら、 $\operatorname {adj} (A)=(\det A)A^{-1}$ $\operatorname {adj} (A)=(\det A)A^{-1}$
これから次が導かれる：
- $adj(A)$ は正則で、その逆行列は $(det A) -1 A$
- $adj(A -1) = adj(A) -1$ .
$adj(A)$ の各成分は $A$ の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、 $adj(A)$ の各成分は、 $A$ の成分の滑らかな関数である。

複素数体上では、

$\operatorname {adj} ({\overline {A}})={\overline {\operatorname {adj} (A)}}$ （は複素共役を表す）
$\operatorname {adj} A^{*}=(\operatorname {adj} A)^{*}$ （ $*$ は随伴行列を表す）

$B$ をもう1つの $n$ 次正方行列とする。

$\operatorname {adj} (AB)=\operatorname {adj} (B)\operatorname {adj} (A)$

この証明には、2つの方法がある。1つは、コーシー・ビネの公式により直接計算する方法である。もう1つの方法は、正方行列 $A, B$ に余因子展開の等式を利用する方法である：

{\begin{aligned}(\det AB){\widetilde {AB}}&=(\det A)I\times (\det B)I\times {\widetilde {AB}}\\&=(\det A)I\times {\widetilde {B}}B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}\times (\det A)I\times B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}\times {\widetilde {A}}A\times B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\times (AB){\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\times \det(AB)I\\&=\det(AB){\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\\\end{aligned}}

両辺を多項式として　 $det AB$ で割ると $~ AB = ~ B ~ A$ を得る。（証明終）

これより、行列の冪乗について次が成り立つ：

$\operatorname {adj} (A^{k})=(\operatorname {adj} A)^{k}$ $\operatorname {adj} (A^{k})=(\operatorname {adj} A)^{k}$ （k は 0 以上の整数）
- $A$ が正則なら、この等式は $k$ が負の整数の場合についても成り立つ。
$A\operatorname {adj} (A+B)B=B\operatorname {adj} (A+B)A$

等式

(A+B)\operatorname {adj} (A+B)B=\det(A+B)B=B\{\operatorname {adj} (A+B)\}(A+B)

から導かれる。

$rk(A) \leq n - 2$ のとき、 $adj(A) = O$
$rk(A) = n - 1$ のとき、 $rk(adj(A)) = 1$

（

A

のある小行列式は

0

でない、故に

adj(A)

は

0

でなく、したがって、階数は

1

以上である。等式

adj(A) A = 0

は、

adj(A)

の核の次元は

n - 1

以上であることを意味する。故に、

adj(A)

の階数は

1

以下である。）

このとき、

adj(A)

は次のように表せる：

adj(A) = xy T

（

x, y

は

A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}

かつ

{}^{t}A{\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {o}}

を満たすベクトルである）

列の置き換えとクラメルの公式

→「クラメルの公式」も参照

$A$ の列ベクトル表示を

A=({\boldsymbol {a}}_{1}\ \cdots \ {\boldsymbol {a}}_{n})

とし、 $b$ を $n$ 次列ベクトルとする。固定された $1 \leq j \leq n$ に対し、 $A$ の第 $j$ 列を $b$ で置き換えた行列を次の記号で定義する：

(A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}_{1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{j-1}&{\boldsymbol {b}}&{\boldsymbol {a}}_{j+1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{n}\end{pmatrix}}

この行列の行列式を第 $j$ 列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 $adj(A) b$ に等しくなる：

\left(\det(A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\right)_{j=1}^{n}=\operatorname {adj} (A){\boldsymbol {b}}

この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系

A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}

を考える。 $A$ を正則と仮定する。この方程式に左から $adj(A)$ を掛け、 $det(A) (\neq 0)$ で割ると

{\boldsymbol {x}}={\frac {1}{\det A}}(\operatorname {adj} A){\boldsymbol {b}}

ここでクラメルの公式を適用すると、

x_{i}={\frac {\det(A{\stackrel {i}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})}{\det A}}

ここで $x i$ は $x$ の第 $i$ 成分である。

固有多項式

$A$ の固有多項式を

p(s)=\det(sI-A)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s]

とすると、 $p$ の第一差商は、 $n - 1$ 次対称式になる：

\Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\textstyle \sum \limits _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t]

$sI - A$ の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理 $p (A) = O$ より、

\operatorname {adj} (sI-A)=\Delta p(sI,A)

特に、 $A$ のレゾルベントは次の式で定義される：

R(z;A)=(zI-A)^{-1}

さらに上記の等式より、これは次の式に等しい：

R(z;A)={\frac {\Delta p(zI,A)}{p(z)}}

ヤコビの公式

→詳細は「ヤコビの公式」を参照

行列式を微分すると、ヤコビの公式 (Jacobi's formula) により、余因子行列が現れる。 $A (t)$ は連続的微分可能なら、

{\frac {d}{dt}}(\det A(t))=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))A'(t)\right)

これより、行列式の全微分は、余因子行列の転置になる：

d(\det A)_{A_{0}}=\operatorname {adj} (A_{0})^{\mathsf {T}}

ケイリー・ハミルトンの定理

→詳細は「ケイリー・ハミルトンの定理」を参照

$p A (t)$ を線形変換 $A$ の固有多項式とする。ケイリー・ハミルトンの定理とは、 $t$ を $A$ に置き換えて得られる正方行列が零行列になることをいう：

p_{A}(A)=O

定数項を分離し両辺に $adj(A)$ を掛けることで、余因子行列は $A$ と $p A (t)$ の係数だけで表される。完全指数関数的ベル多項式を使うと、これらの係数は $A$ の冪の跡の項で具体的に表せ、次のようになる：

\operatorname {adj} (A)=\textstyle \sum \limits _{s=0}^{n-1}A^{s}\sum \limits _{k_{1},\cdots ,k_{n-1}}\prod \limits _{\ell =1}^{n-1}{\dfrac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (A^{\ell })^{k_{\ell }}

ここで $n$ は $A$ の次数、総和 $\sum$ の $s$ , 数列 $k l \geq 0$ は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする：

s+\textstyle \sum \limits _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1

特に $2$ 次の場合は、次のようになる：

\operatorname {adj} (A)=I_{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A

$3$ 次の場合は

\operatorname {adj} (A)={\frac {1}{2}}I_{3}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)-A\left(\operatorname {tr} A\right)+A^{2}

$4$ 次の場合は

\operatorname {adj} (A)={\frac {1}{6}}I_{4}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)-{\frac {1}{2}}A\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)+A^{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A^{3}

上記の表示式は、 $A$ の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。

外積代数との関係

余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。 $V$ を $n$ 次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる：

V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V

ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす：

\phi \colon V\ \xrightarrow {\cong } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)

明示すると、この対は、 $v \in V$ を $\phi _{\boldsymbol {v}}$ に写す：

\phi _{\boldsymbol {v}}(\alpha )={\boldsymbol {v}}\wedge \alpha \qquad (\alpha \in \wedge ^{n-1}V)

$T : V \to V$ を線形変換とする。 $T$ の $(n - 1)$ 次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき $T$ の余因子変換は次の合成で定義される：

V\ \xrightarrow {\phi } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}} \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {\phi ^{-1}} \ V

$V = R n$ に基底 $(e 1, \dots, e n)$ が与えられていて、 $T$ のこの基底に関する表現行列は $A$ であるとき、 $T$ の余因子変換は $A$ の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、 $\wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n}$ の基底を取る：

\{{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\}_{k=1}^{n}

$R n$ の基底元 $e i$ を固定する。 $e i$ の $\phi$ による像は、 $\wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n}$ の基底ベクトルの移る先を決定する：

\phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

この基底で、 $T$ の $(n - 1)$ 次外冪 $(\wedge ^{n-1}T)^{*}$ は次のように表せる：

{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\,{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}

これらのそれぞれの項の $\phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}$ による像は、 $k = i$ の項を除いて $0$ になる。それ故、 $\phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}$ の引き戻しは次の線形写像になる：

{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}

これは次に等しくなる：

\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{{\boldsymbol {e}}_{j}}

$\phi$ の逆写像を適用することより、 $T$ の余因子変換は次の式で与えられる線形変換であると分かる：

{\boldsymbol {e}}_{i}\mapsto \textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji}){\boldsymbol {e}}_{j}

故に、その表現行列は $A$ の余因子行列である。

$V$ に内積と体積形式が与えられていたら、この写像 $φ$ はさらに分解される。この場合、 $φ$ はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、 $ω$ が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす：

\omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbb {R}

これは同型写像を引き起こす：

\operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbb {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }

$v \in R n$ は次の線型汎函数に一致する：

(\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }

ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は $* v$ と双対である。つまり、 $ω \lor \circ φ$ は $v \mapsto * v \lor$ と見なせる。

高階余因子行列

$A$ を $n$ 次正方行列とし、 $r \geq 0$ を固定する。 $A$ の $r$ 階余因子行列とは、 $\textstyle {\binom {n}{r}}$ 次正方行列であり、 $adj r A$ で表す。その成分は ${1, \dots, m}$ の $r$ 個元からなる部分集合 $I, J$ から番号を取るものとする。 $I c, J c$ はそれぞれ $I, J$ の補集合を表すものとする。 $A_{I^{c},J^{c}}$ は、行番号、列番号がそれぞれ $I c, J c$ から取られる、 $A$ の小行列を表すとする。 $adj r A$ の $(I, J)$ 成分は次の式で定義される：

(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det A_{J^{c},I^{c}}

ここで $σ(I), σ(J)$ はそれぞれ $I, J$ の元の総和を表すとする。

高階余因子行列の基本的な性質として以下がある：

$adj 0 (A) = det A$
$adj 1 (A) = adj A$
$adj n (A) = 1$
$adj r (BA) = adj r (A) adj r (B)$
$\operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(A)=C_{r}(A)\operatorname {adj} _{r}(A)=(\det A)I_{\binom {n}{r}}$ （ $C r (A)$ は $r$ 次複合行列を表す）

高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。 $V$ , $\wedge ^{n-1}V$ をそれぞれ $\wedge ^{r}V$ , $\wedge ^{n-r}V$ に置き換えることでできる。