数学 のおもに線型代数学 および函数解析学 における行列の平方根 （ぎょうれつのへいほうこん、英 : square root of a matrix 平方根 の概念を行列 に対して拡張するものである。すなわち、行列 B が行列 A の平方根 であるとは、行列の積 に関して B 2 = BB A に等しいときに言う。
「実数の平方根は必ずしも実数にならないが、複素数は必ず複素数の範囲で平方根を持つ」ことに対応する事実として、実行列の平方根は（存在しても）必ずしも実行列にならないが、複素行列が平方根を持てばそれは必ず複素行列の範囲で取れる。
平方根を持たない行列も存在する[ 注 1]
また一般に、ひとつの行列が複数の平方根を持ち得る[ 注 2] 2 × 2 単位行列 は次のように無数の平方根を持つ。
[
1
−
b
c
b
c
−
1
−
b
c
]
,
[
−
1
−
b
c
b
c
1
−
b
c
]
,
[
1
0
0
1
]
,
[
−
1
0
0
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\sqrt {1-bc}}&b\\c&-{\sqrt {1-bc}}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-{\sqrt {1-bc}}&b\\c&{\sqrt {1-bc}}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
このように行列の平方根は無数に存在しうるが、半正定値行列 [ 注 3] 行列の主平方根 (principal square root ) の概念が定義できて「半正定値行列の主平方根はただ一つ」である（これは「非負実数が非負の平方根（主平方根）をただ一つだけ持つ」という事実に対応する）。
2 × 2 行列が、相異なる二つの非零固有値 を持つならば、それは四つの平方根を持つ（より一般に、相異なる n 個の非零固有値を持つ n × n 行列は 2n 個の平方根を持つ）。実際に、そのような仮定を満たす行列 A は A の固有ベクトルを列ベクトルに持つ行列 V とそれに対応する固有値を対角成分に持つ対角行列 D を用いて A = VDV −1 固有値分解 できるから、A の平方根は VD ½ V −1 D ½ D の任意の平方根で、それは D の対角成分の任意の平方根を同じ位置の対角成分として持つ対角行列であり、その選び方は 2n 通りある。同じ理由で、上で述べた「半正定値行列の主平方根がただ一つに定まる」ことも言える—半正定値行列[ 注 4] A の全ての非負固有値の主平方根を対角成分に持つ対角行列を D ½ VD ½ V −1
適当な冪零行列 N を用いて I + N (I + N )½ は、二項級数 に対する汎函数計算で求められる。同様に、行列の指数函数 exp , 対数函数 log が既知ならば、 exp(½⋅log(A )) を A の（主）平方根とすることができる（収束性に注意せよ）。
定義 (行列の平方根)
行列 B が行列 A の平方根 であるとは、B 2 = A [ 1] [ 注 5] 定義 (行列の主平方根) 「非負実数が非負の平方根（主平方根）をただ一つだけ持つ」という事実に対応して
命題
半正定値行列 は、それ自身が半正定値となるような平方根をただ一つ持つ。一般に、すべての固有値が正の実数となる複素行列はすべての固有値が正の実数となる平方根をただ一つ持つ。 が成り立つ。そのように定まるただ一つの (the, unique) 平方根は主平方根 (principal square root ) と呼ばれる。 主平方根をとる操作は行列全体の成す集合上で連続 である[ 2] 正則汎函数計算 （英語版 ） [ 3] [ 4] ジョルダン標準形 を用いて直截に示せる（後述）。
注意
記号 √ • •1/2 は、主平方根を表すために用いる場合[ 5] 2 × 2 行列の場合は、すべての成分を明示的に計算することによって平方根を求めることはそう難しくない。固有値が退化していない場合の平方根は明示公式 （英語版 ）
すなわち、
A
=
[
a
b
c
d
]
{\textstyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
Δ
=
a
d
−
b
c
{\textstyle \Delta =ad-bc}
(
x
−
a
)
(
x
−
d
)
−
b
c
=
x
2
−
(
a
+
d
)
x
+
a
d
−
b
c
=
0
{\textstyle (x-a)(x-d)-bc=x^{2}-(a+d)x+ad-bc=0}
δ
=
(
a
+
d
)
2
−
4
(
a
d
−
b
c
)
=
(
a
+
d
+
2
Δ
)
(
a
+
d
−
2
Δ
)
{\textstyle \delta =(a+d)^{2}-4(ad-bc)=(a+d+2{\sqrt {\Delta }})(a+d-2{\sqrt {\Delta }})}
δ
≠
0
{\textstyle \delta \neq 0}
A
{\textstyle A}
1
a
+
d
+
2
Δ
(
A
+
Δ
I
)
{\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {\Delta }}}}}(A+{\sqrt {\Delta }}I)}
−
1
a
+
d
+
2
Δ
(
A
+
Δ
I
)
{\textstyle {\frac {-1}{\sqrt {a+d+2{\sqrt {\Delta }}}}}(A+{\sqrt {\Delta }}I)}
1
a
+
d
−
2
Δ
(
A
−
Δ
I
)
{\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {\Delta }}}}}(A-{\sqrt {\Delta }}I)}
−
1
a
+
d
−
2
Δ
(
A
−
Δ
I
)
{\textstyle {\frac {-1}{\sqrt {a+d-2{\sqrt {\Delta }}}}}(A-{\sqrt {\Delta }}I)}
平方根となることは、実際に2乗を計算すれば
(
A
+
Δ
I
)
2
=
A
2
+
Δ
I
+
2
Δ
A
=
(
a
+
d
+
2
Δ
)
A
{\textstyle (A+{\sqrt {\Delta }}I)^{2}=A^{2}+\Delta I+2{\sqrt {\Delta }}A=(a+d+2{\sqrt {\Delta }})A}
あるいは、2次のケイリー・ハミルトンの定理
A
2
−
(
a
+
d
)
A
+
Δ
I
=
0
{\textstyle A^{2}-(a+d)A+\Delta I=0}
(
a
+
d
)
A
=
A
2
+
Δ
I
{\textstyle (a+d)A=A^{2}+\Delta I}
(
a
+
d
+
2
Δ
)
A
=
A
2
+
2
Δ
A
+
Δ
I
=
(
A
+
Δ
I
)
2
{\textstyle (a+d+2{\sqrt {\Delta }})A=A^{2}+2{\sqrt {\Delta }}A+\Delta I=(A+{\sqrt {\Delta }}I)^{2}}
これら以外に平方根が存在しないことについては、
B
2
=
A
{\textstyle B^{2}=A}
δ
≠
0
{\textstyle \delta \neq 0}
A
{\textstyle A}
λ
1
{\textstyle \lambda _{1}}
λ
2
{\textstyle \lambda _{2}}
A
v
1
=
λ
1
v
1
{\textstyle Av_{1}=\lambda _{1}v_{1}}
A
v
2
=
λ
2
v
2
{\textstyle Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}}
v
1
{\textstyle v_{1}}
v
2
{\textstyle v_{2}}
B
v
1
=
α
11
v
1
+
α
12
v
2
{\textstyle Bv_{1}=\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2}}
B
v
2
=
α
21
v
1
+
α
22
v
2
{\textstyle Bv_{2}=\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2}}
λ
1
v
1
=
A
v
1
=
B
B
v
1
=
B
(
α
11
v
1
+
α
12
v
2
)
=
(
α
11
2
+
α
12
α
21
)
v
1
+
(
α
11
α
12
+
α
12
α
22
)
v
2
{\textstyle \lambda _{1}v_{1}=Av_{1}=BBv_{1}=B(\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2})=(\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{11}\alpha _{12}+\alpha _{12}\alpha _{22})v_{2}}
λ
2
v
2
=
A
v
2
=
B
B
v
2
=
B
(
α
21
v
1
+
α
22
v
2
)
=
(
α
21
α
11
+
α
22
α
21
)
v
1
+
(
α
21
α
12
+
α
22
2
)
v
2
{\textstyle \lambda _{2}v_{2}=Av_{2}=BBv_{2}=B(\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2})=(\alpha _{21}\alpha _{11}+\alpha _{22}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{21}\alpha _{12}+\alpha _{22}^{2})v_{2}}
[
λ
1
0
0
λ
2
]
=
[
α
11
α
12
α
21
α
22
]
[
α
11
α
12
α
21
α
22
]
=
[
α
11
2
+
α
12
α
21
α
12
(
α
11
+
α
22
)
α
21
(
α
11
+
α
22
)
α
22
2
+
α
12
α
21
]
{\textstyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}&\alpha _{12}(\alpha _{11}+\alpha _{22})\\\alpha _{21}(\alpha _{11}+\alpha _{22})&\alpha _{22}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}\end{bmatrix}}}
λ
1
≠
λ
2
{\textstyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}
α
11
=
±
λ
1
{\textstyle \alpha _{11}=\pm {\sqrt {\lambda _{1}}}}
α
12
=
α
21
=
0
{\textstyle \alpha _{12}=\alpha _{21}=0}
α
22
=
±
λ
2
{\textstyle \alpha _{22}=\pm {\sqrt {\lambda _{2}}}}
x
v
1
+
y
v
2
{\textstyle xv_{1}+yv_{2}}
B
{\textstyle B}
B
{\textstyle B}
A
{\textstyle A}
Δ
=
0
{\textstyle \Delta =0}
δ
=
0
{\textstyle \delta =0}
D が n × n 対角行列 ならば、D の対角成分の任意の平方根を対応する位置の対角成分に持つ対角行列 R を作れば平方根が得られる。D の対角成分が非負の実数ならば、先の対角行列 R で各成分の符号を全て正としたものは D の主平方根である。
冪等行列 の平方根は、自身を平方根に持つ。
対角化可能行列 A に対し、適当な行列 V と対角行列 D が存在して A = VDV −1 A が C n n 個の固有値を持つことと同値である。このとき V はその列ベクトルが n 個の固有ベクトルであるように選べる。そうして A の平方根は D の任意の平方根を用いて
A
1
/
2
=
V
D
1
/
2
V
−
1
{\textstyle A^{1/2}=VD^{1/2}V^{-1}}
(
V
D
1
/
2
V
−
1
)
2
=
V
D
1
/
2
(
V
−
1
V
)
D
1
/
2
V
−
1
=
V
D
V
−
1
=
A
{\textstyle (VD^{1/2}V^{-1})^{2}=VD^{1/2}(V^{-1}V)D^{1/2}V^{-1}=VDV^{-1}=A}
A がエルミート行列ならば対角化に用いる行列 V は固有ベクトルを適当に選んでユニタリ行列 となるようにとれる。この場合、V の逆行列はたんに随伴をとるだけであるから、
A
1
/
2
=
V
D
1
/
2
V
†
{\textstyle A^{1/2}=VD^{1/2}V^{\dagger }}
正方行列
A
{\displaystyle A}
ジョルダン標準形 を
J
=
P
−
1
A
P
{\displaystyle J=P^{-1}AP}
K
{\displaystyle K}
J
{\displaystyle J}
K
2
=
J
{\displaystyle K^{2}=J}
B
=
P
K
P
−
1
{\displaystyle B=PKP^{-1}}
B
2
=
(
P
K
P
−
1
)
(
P
K
P
−
1
)
=
P
K
2
P
−
1
=
P
J
P
−
1
=
A
{\displaystyle B^{2}=(PKP^{-1})(PKP^{-1})=PK^{2}P^{-1}=PJP^{-1}=A}
A
{\displaystyle A}
逆に
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
B
2
=
A
{\displaystyle B^{2}=A}
K
=
P
−
1
B
P
{\displaystyle K=P^{-1}BP}
K
2
=
(
P
−
1
B
P
)
(
P
−
1
B
P
)
=
P
−
1
B
2
P
=
P
−
1
A
P
=
J
{\displaystyle K^{2}=(P^{-1}BP)(P^{-1}BP)=P^{-1}B^{2}P=P^{-1}AP=J}
J
{\displaystyle J}
B
=
P
K
P
−
1
{\displaystyle B=PKP^{-1}}
このため、ジョルダン標準形
J
=
P
−
1
A
P
{\displaystyle J=P^{-1}AP}
K
{\displaystyle K}
B
=
P
K
P
−
1
{\displaystyle B=PKP^{-1}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
J
=
[
J
1
⋯
0
⋮
⋱
⋮
0
⋯
J
m
]
{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &J_{m}\\\end{bmatrix}}}
K
i
2
=
J
i
,
1
≤
i
≤
m
{\displaystyle K_{i}^{2}=J_{i},1\leq i\leq m}
K
=
[
K
1
⋯
0
⋮
⋱
⋮
0
⋯
K
m
]
{\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &K_{m}\\\end{bmatrix}}}
J
{\displaystyle J}
逆に、
J
=
[
J
1
O
O
J
2
]
{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}}
J
1
,
J
2
{\displaystyle J_{1},J_{2}}
J
1
{\displaystyle J_{1}}
J
2
{\displaystyle J_{2}}
J
{\displaystyle J}
K
=
[
K
1
O
O
K
2
]
{\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&O\\O&K_{2}\\\end{bmatrix}}}
K
1
2
=
J
1
,
K
2
2
=
J
2
{\displaystyle K_{1}^{2}=J_{1},K_{2}^{2}=J_{2}}
これは、
K
=
[
K
1
B
C
K
2
]
,
J
=
K
2
{\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}},J=K^{2}}
K
3
=
K
J
=
[
K
1
B
C
K
2
]
[
J
1
O
O
J
2
]
=
[
K
1
J
1
B
J
2
C
J
1
K
2
J
2
]
=
J
K
=
[
J
1
O
O
J
2
]
[
K
1
B
C
K
2
]
=
[
J
1
K
1
J
1
B
J
2
C
J
2
K
2
]
{\displaystyle K^{3}=KJ={\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{1}J_{1}&BJ_{2}\\CJ_{1}&K_{2}J_{2}\\\end{bmatrix}}=JK={\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{1}K_{1}&J_{1}B\\J_{2}C&J_{2}K_{2}\\\end{bmatrix}}}
B
J
2
=
J
1
B
{\displaystyle BJ_{2}=J_{1}B}
B
=
[
b
1
…
b
k
]
{\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1}&\dots &b_{k}\\\end{bmatrix}}}
J
2
{\displaystyle J_{2}}
λ
i
,
1
≤
i
≤
k
{\displaystyle \lambda _{i},1\leq i\leq k}
λ
1
b
1
=
J
1
b
1
{\displaystyle \lambda _{1}b_{1}=J_{1}b_{1}}
J
1
{\displaystyle J_{1}}
J
2
{\displaystyle J_{2}}
b
1
=
0
{\displaystyle b_{1}=0}
b
i
=
0
{\displaystyle b_{i}=0}
B
=
O
{\displaystyle B=O}
C
J
1
=
J
2
C
{\displaystyle CJ_{1}=J_{2}C}
C
=
[
c
1
⋮
c
k
]
{\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\\\end{bmatrix}}}
c
k
J
1
=
λ
k
c
k
{\displaystyle c_{k}J_{1}=\lambda _{k}c_{k}}
J
1
{\displaystyle J_{1}}
J
2
{\displaystyle J_{2}}
c
k
=
0
{\displaystyle c_{k}=0}
c
i
=
0
{\displaystyle c_{i}=0}
C
=
O
{\displaystyle C=O}
ジョルダン標準形の平方根には、ジョルダン細胞の平方根であるものと、
[
1
0
0
1
]
=
[
1
−
b
c
b
c
−
1
−
b
c
]
2
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-bc}}&b\\c&-{\sqrt {1-bc}}\\\end{bmatrix}}^{2}}
のようにジョルダン細胞の平方根ではないもの（同じ固有値のジョルダン細胞が複数あるときに発生する）があるので、注意が必要である。
ジョルダン細胞
J
n
(
λ
)
{\displaystyle J_{n}(\lambda )}
n 次正方行列で、
j
<
i
{\displaystyle j<i}
J
n
(
λ
)
i
j
=
0
{\displaystyle J_{n}(\lambda )_{ij}=0}
J
n
(
λ
)
i
i
=
λ
{\displaystyle J_{n}(\lambda )_{ii}=\lambda }
J
n
(
λ
)
i
i
+
1
=
1
{\displaystyle J_{n}(\lambda )_{ii+1}=1}
j
>
i
+
1
{\displaystyle j>i+1}
J
n
(
λ
)
i
j
=
0
{\displaystyle J_{n}(\lambda )_{ij}=0}
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda \neq 0}
J
n
(
λ
)
{\displaystyle J_{n}(\lambda )}
K
{\displaystyle K}
−
K
{\displaystyle -K}
j
<
i
{\displaystyle j<i}
K
i
j
=
0
{\displaystyle K_{ij}=0}
K
i
i
=
λ
{\displaystyle K_{ii}={\sqrt {\lambda }}}
j
>
i
{\displaystyle j>i}
K
i
j
=
(
−
1
)
j
−
i
−
1
(
2
j
−
2
i
−
2
)
!
2
2
j
−
2
i
−
1
(
j
−
i
−
1
)
!
λ
−
(
2
j
−
2
i
−
1
)
/
2
{\displaystyle K_{ij}={\frac {(-1)^{j-i-1}(2j-2i-2)!}{2^{2j-2i-1}(j-i-1)!}}\lambda ^{-(2j-2i-1)/2}}
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
J
n
(
0
)
{\displaystyle J_{n}(0)}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
例
J
2
(
0
)
=
[
0
1
0
0
]
{\displaystyle J_{2}(0)={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}}
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda \neq 0}
J
n
(
λ
)
{\displaystyle J_{n}(\lambda )}
K
2
=
J
n
(
λ
)
{\displaystyle K^{2}=J_{n}(\lambda )}
K
3
{\displaystyle K^{3}}
K
i
j
3
=
(
J
n
(
λ
)
K
)
i
j
=
{
λ
K
i
1
+
K
i
+
1
j
(
1
≤
i
≤
n
−
1
)
λ
K
n
j
(
i
=
n
)
{\displaystyle K_{ij}^{3}=(J_{n}(\lambda )K)_{ij}={\begin{cases}\lambda K_{i1}+K_{i+1j}&(1\leq i\leq n-1)\\\lambda K_{nj}&(i=n)\end{cases}}}
K
i
j
3
=
(
K
J
n
(
λ
)
)
i
j
=
{
λ
K
i
1
(
j
=
1
)
λ
K
i
j
+
K
i
j
−
1
(
2
≤
j
≤
n
)
{\displaystyle K_{ij}^{3}=(KJ_{n}(\lambda ))_{ij}={\begin{cases}\lambda K_{i1}&(j=1)\\\lambda K_{ij}+K_{ij-1}&(2\leq j\leq n)\end{cases}}}
K
n
j
3
,
2
≤
j
≤
n
{\displaystyle K_{nj}^{3},2\leq j\leq n}
λ
K
n
j
=
λ
K
n
j
+
K
n
j
−
1
,
2
≤
j
≤
n
{\displaystyle \lambda K_{nj}=\lambda K_{nj}+K_{nj-1},2\leq j\leq n}
K
n
j
=
0
,
1
≤
j
≤
n
−
1
{\displaystyle K_{nj}=0,1\leq j\leq n-1}
K
i
j
3
,
1
≤
i
≤
n
−
1
,
2
≤
j
≤
n
{\displaystyle K_{ij}^{3},1\leq i\leq n-1,2\leq j\leq n}
λ
K
i
j
+
K
i
+
1
j
=
λ
K
i
j
+
K
i
j
−
1
,
1
≤
i
≤
n
−
1
,
2
≤
j
≤
n
{\displaystyle \lambda K_{ij}+K_{i+1j}=\lambda K_{ij}+K_{ij-1},1\leq i\leq n-1,2\leq j\leq n}
K
i
+
1
j
+
1
=
K
i
j
,
1
≤
i
≤
n
−
1
,
1
≤
j
≤
n
−
1
{\displaystyle K_{i+1j+1}=K_{ij},1\leq i\leq n-1,1\leq j\leq n-1}
このため、
K
{\displaystyle K}
K
2
=
J
n
(
λ
)
{\displaystyle K^{2}=J_{n}(\lambda )}
(
n
,
n
)
{\displaystyle (n,n)}
K
n
n
2
=
λ
,
K
n
n
=
±
λ
{\displaystyle K_{nn}^{2}=\lambda ,K_{nn}=\pm {\sqrt {\lambda }}}
(
j
,
n
)
{\displaystyle (j,n)}
j
=
n
−
1
,
n
−
2
,
…
,
1
{\displaystyle j=n-1,n-2,\dots ,1}
K
{\displaystyle K}
対角化可能でない行列の場合にはジョルダン標準形 が利用できる。[ 注 6]
すべての固有値が正の実数であるような任意の複素行列が、同じ条件の平方根を持つことを見るには、ジョルダンブロックの場合に証明すれば十分である。そのようなブロックは実数 λ > 0冪零行列 N を用いて λ (I + N )(1 + z )1/2 = 1 + a 1 z + a 2 z 2 + ⋯ （収束域は |z | < 1 ）に対し、形式冪級数 としての平方は 1 + z に等しい。z を N に置き換えれば、冪零性により有限個を除く全ての項は零となり、S = √ λ I + a 1 N + a 2 N 2 + ⋯)√ λ
一意性を見るには λ = 1S = I + L L は定数項を持たない N の多項式である。固有値が正の実数となる他の任意の平方根 T は T = I + M M が冪零かつ N と（したがって L と）可換となるようにとれる。しかしこのとき 0 = S 2 − T 2 = 2(L − M )(I + (L + M )/2) であり、また L と M の可換性により L + M I + (L + M )/2ノイマン級数 で与えられる）となるから、したがって L = M
すべての固有値が正の実数であるような行列 A の最小多項式 を p (t )A の一般固有空間へのジョルダン分解は p (t )−1 A の実係数多項式として与えられ、各固有空間上で A は上記の通り λ (I + N )A の主平方根が実係数多項式 q (t )q (A )
「対角化」の方法でも「ジョルダン分解」の方法でも、すべての固有値を算出することが必要となるが、それは行列の特性方程式（あるいは最小方程式）のすべての解を求めることと同じであり、行列の次数が大きくなれば非現実的となる。このため、現実的な平方根の求め方が必要となる。
実数
a
>
0
{\displaystyle a>0}
a
{\displaystyle {\sqrt {a}}}
exp
(
1
2
log
(
a
)
)
{\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(a)\right)}
n次実数値正方行列
A
{\displaystyle A}
行列対数関数を
log
(
A
)
=
log
(
c
)
I
−
Σ
k
=
1
∞
1
k
(
I
−
1
c
A
)
k
{\displaystyle \log(A)=\log(c)I-\Sigma _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}}
c
{\displaystyle c}
行列指数関数 を
exp
(
X
)
=
Σ
k
=
0
∞
1
k
!
X
k
{\displaystyle \exp(X)=\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}}
X
{\displaystyle X}
2乗すると
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle {\sqrt {A}}}
A
=
exp
(
1
2
log
(
A
)
)
{\displaystyle {\sqrt {A}}=\exp \left({\frac {1}{2}}\log(A)\right)}
この方法は、固有値を全て求める必要がないこと（「全ての特性根の実数部分が正」という条件は、特性根を全て求めなくても、十分条件がいくつか知られている）、収束計算が速いこと、対称行列に限らず一般の行列に利用可能であることなど、現実的かつ速い計算方法になっている。
また、行列の平方根に限らず、ｎ乗根も同様に計算することができる。
実数の方程式
f
(
x
)
=
x
2
−
a
=
0
{\textstyle f(x)=x^{2}-a=0}
ニュートン法 で解く方法を、行列にそのまま適用して求める方法である。
ｎ次正方行列
A
{\textstyle A}
X
m
{\textstyle X_{m}}
X
m
+
1
=
1
2
(
X
m
+
A
X
m
−
1
)
{\textstyle X_{m+1}={\frac {1}{2}}(X_{m}+AX_{m}^{-1})}
この列が適当な初期値
X
0
{\displaystyle X_{0}}
X
∞
{\textstyle X_{\infty }}
X
∞
2
=
A
{\textstyle X_{\infty }^{2}=A}
このことは、収束すれば
X
∞
=
1
2
(
X
∞
+
A
X
∞
−
1
)
{\textstyle X_{\infty }={\frac {1}{2}}(X_{\infty }+AX_{\infty }^{-1})}
以下では、対称行列 （あるいはエルミート行列 ）に限定した行列の平方根についての性質を示す。
「正定値行列」とは、対称行列（あるいはエルミート行列）で、その全ての固有値が正の実数であるものをいう。「半正定値行列」とは、対称行列（あるいはエルミート行列）で、その全ての固有値がゼロまたは正の実数であるものをいう。
転置あるいはエルミート共軛を用いれば、より一般に非対称あるいは非エルミートな矩形行列の範疇で「平方根」をとることができる。
定義
半正定値実正方行列 A に対して、A = B t B A = t BBA はグラム行列 ）を満たす任意の矩形行列 B を A の非対称平方根 (asymmetric square root )[ 6] t 行列の転置 を表す）
定義
半正定値複素正方行列 A に対して、A = BB *A = B *B B を A の非エルミート平方根 (non-Hermitian square root ) と呼ぶ。（記号 * はエルミート共軛 を表す） B がエルミート（実係数の場合は対称）ならば、B は上で述べたA の平方根と一致する。任意の正定値エルミート行列 A に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを主平方根 (unique square root, principal square root)[ 7]
注
コレスキー分解 からも平方根の例が得られるが、コレスキー因子と（主）平方根とを混同してはならない。正実数の平方根は、主平方根に ±1 を掛けたものですべて与えられた。これに対応するように、正定値エルミート行列の任意の非エルミート平方根は、ユニタリ変換によって関連付けられる[ 8]
主張
半正定値行列 T に対し、T = A*A = B*B ユニタリ行列 U が存在して A = UB 実際、主平方根を B ≔ T ½ T が正定値のとき B は可逆で、U = AB −1
U
∗
U
=
(
(
B
∗
)
−
1
A
∗
)
(
A
B
−
1
)
=
(
B
∗
)
−
1
T
(
B
−
1
)
=
(
B
∗
)
−
1
B
∗
B
(
B
−
1
)
=
I
.
{\displaystyle {\begin{aligned}U^{*}U&=\left((B^{*})^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{-1}\right)=(B^{*})^{-1}T(B^{-1})\\&=(B^{*})^{-1}B^{*}B(B^{-1})=I.\end{aligned}}}
T が正定値でない半正定値行列のときは逆行列の代わりにムーア・ペンローズ擬逆行列 B + B + A T の核の上で自明となるように拡張して U が得られる。
平方根およびそのユニタリ自由度は線型代数学および函数解析学の全般に応用を持つ。
可逆行列 A に対して、ユニタリ行列 U および正定値行列 P が一意に存在して A = UP A の極分解と呼ぶ。この正定値行列 P は正定値行列 A*A の主平方根であり、U は U = AP −1
A が可逆でないときでも、適当な方法で P が定まれば（それは一意であり）極分解が定義される。極分解におけるユニタリ作用素 U は一意ではないが、以下のようにして「自然な」ユニタリ行列は求められる: AP + A の値域からそれ自身への作用素であり、これは A* の核上自明に延長してユニタリ作用素 U にできるから、この U を極分解に用いればよい。
有限次元数空間上で行列を考える代わりに、任意のヒルベルト空間上の有界作用素 に対して、その平方根を考えることができる。とくに有界半正定値作用素に対して、半正定値な平方根としての主平方根は一意に決まる。あるいは非エルミート平方根に関しても同様に考えることができる。無限次元の場合には、平方根がユニタリ作用素を施す違いを除いて決まるという事実は、作用素が閉値域 ならば正しい。非有界作用素 に対しては、閉 かつ稠密に定義された 二つの平方根 A, B に対し部分等方な U で A = UB
^ 例えば
[
0
1
0
0
]
{\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}
^ たとえば、行列
[
33
24
48
57
]
{\textstyle {\begin{bmatrix}33&24\\48&57\end{bmatrix}}}
[
1
4
8
5
]
,
[
5
2
4
7
]
{\textstyle {\begin{bmatrix}1&4\\8&5\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}5&2\\4&7\end{bmatrix}}}
符号を変えたもの を平方根に持つ
^ これはふつう、対称 あるいはエルミート で考える
^ 正定値行列となるための必要十分条件はそのすべての固有値が正となることであった
^ このとき、平方が定義できるために行列は必然的に正方行列 でなければならないことに注意せよ。とくに対称行列 の場合が重要である。
^ 行列の対数函数#非対角化可能行列の対数 の項と同様の級数展開を用いる方法
^ Higham, Nicholas J. (April 1986), “Newton's Method for the Matrix Square Root” , Mathematics of Computation 46 (174): 537–549, doi :10.2307/2007992 , JSTOR 2007992 , http://www.ams.org/journals/mcom/1986-46-174/S0025-5718-1986-0829624-5/S0025-5718-1986-0829624-5.pdf ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis . Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 411. ISBN 9780521386326 ^ 行列変数の解析函数について: Higham 2008 , Horn & Johnson 1994
^ 正則汎函数計算について: Rudin 1991 , Bourbaki 2007 , Conway 1990
^ Gentle, James E., Matrix Algebra , https://books.google.co.jp/books?id=PDjIV0iWa2cC&pg=PA125&dq=%22Cholesky+factor%22 ^ Marshall, Albert W.; Olkin, Ingram; Arnold, Barry, Inequalities , https://books.google.co.jp/books?id=I9wfajyOrooC&pg=PA773&dq=%22asymmetric%2Bsquare%2Broot%22 ^ Higham, Nicholas J., Functions of Matrices , https://books.google.co.jp/books?id=2Wz_zVUEwPkC&pg=PA20&dq=%22unique%2Bsquare%2Broot%22 ^ Lu, Andreas, Practical Optimization , https://books.google.co.jp/books?id=6_2RhaMFPLcC&pg=PA601&dq=%22non-hermitian%2Bsquare%2Broot%22
Bourbaki, Nicolas (2007), Théories spectrales, chapitres 1 et 2 , Springer, ISBN 3540353313 Conway, John B. (1990), A Course in Functional Analysis , Graduate Texts in Mathematics, 96 , Springer, pp. 199–205, ISBN 0387972455 Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J. ; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J. (2001), “Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy” , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 22 (4): 1112–1125, doi :10.1137/S0895479899364015 , オリジナル の2011-08-09時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20110809202647/https://eeweb.ee.ucla.edu/publications/journalAlanLaubajlaub_simax22(4)_2001.pdf Burleson, Donald R., Computing the square root of a Markov matrix: eigenvalues and the Taylor series , http://www.blackmesapress.com/TaylorSeries.htm Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N. (1976), “The matrix sign function and computations in systems”, Applied Mathematics and Computation 2 (1): 63–94, doi :10.1016/0096-3003(76)90020-5 Higham, Nicholas (2008), Functions of Matrices. Theory and Computation , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1994), Topics in Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 0521467136 Rudin, Walter (1991), Functional analysis , International series in pure and applied mathematics (2nd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0070542368 
