Ортоцентр

Ортоцентр (від грец. ορθοξ — прямий) — точка перетину висот трикутника або їх продовжень. Інакше: ортоцентром називається точка перетину прямих, що містять висоти трикутника. Зазвичай ортоцентр позначають великою латинською літерою $H$ .

В гострокутному трикутнику ортоцентр лежить всередині трикутника. В тупокутному — поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Властивості ортоцентра

Ортоцентр лежить на одній прямій з центроїдом, центром описаного кола і центром кола дев'яти точок (див. Лінія Ейлера).
Ортоцентр гострокутного трикутника є центром кола, вписаного в ортоцентричний трикутник даного трикутника.
Точка перетину серединних перепендикулярів трикутника є ортоцентром трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника.
Точки, симетричні ортоцентру трикутника щодо його сторін, лежать на описаному колі.
Точки, симетричні ортоцентру трикутника щодо середин сторін, також лежать на описаному колі і збігаються з точками, діаметрально протилежними відповідним вершинам.
Якщо $O$ — центр описаного кола $\bigtriangleup ABC$ , то ${\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}},$
$|OH|={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}$ , де $R$ — радіус описаного кола; $a$ , $b$ , $c$ — довжини сторін трикутника.
Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більша відстані від центру описаного кола до середини протилежної сторони.
Будь-який відрізок, проведений з ортоцентра до перетину з описаним колом завжди ділиться колом Ейлера навпіл.
Теорема Гамільтона. Три відрізка прямих, що з'єднують ортоцентр з вершинами гострого трикутника, розбивають його на три трикутника, що мають те ж саме коло Ейлера (коло дев'яти точок), що і вихідний гострокутний трикутник.

Див. також

Джерела

Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-X
Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

п о р Трикутник
Види трикутників	Прямокутний Рівнобедрений Рівносторонній Рівнобедрений прямокутний
Чудові лінії в трикутнику	Медіана Висота Бісектриса Серединний перпендикуляр Середня лінія Описане коло Вписане коло Пряма Сімсона Лінія Ейлера Симедіана Чевіана Гіпербола Кіперта
Чудові точки трикутника	Ортоцентр Центроїд Інцентр Точка Аполлонія Точки Аполлонія Точки Брокара Точки Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Мікеля Точка Наґеля Точки Наполеона Точка Паррі Точки Торрічеллі Центр кола дев'яти точок Центр Шпікера Енциклопедія центрів трикутника
Основні теореми	Нерівність трикутника Подібність трикутників Розв'язування трикутників Теорема про зовнішній кут трикутника Теорема про суму кутів трикутника Теорема Піфагора Теорема косинусів Теорема синусів Теорема про проєкції Формула Герона
Додаткові теореми	Теорема ван Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсів Теорема котангенсів Теорема Чеви Формули Мольвейде
Узагальнення	Сферичний трикутник Гіперболічний трикутник Симплекс
Інше	Трикутник Рело Трикутник Серпінського