Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς

Στα μαθηματικά, η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς ή ανισότητα Κωσύ-Μπουνιακόφσκι-Σβαρτς (αναφέρεται και ως ανισότητα Cauchy-Schwarz ή ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) δίνει ότι σε οποιοδήποτε πραγματικό ή μιγαδικό διανυσματικό χώρο $V$ και με εσωτερικό γινόμενο $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, για κάθε $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$

$|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ,$

όπου $\textstyle \lVert \mathbf {x} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$, $\textstyle \lVert \mathbf {y} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}$ και $|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |$ η απόλυτη τιμή του $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle$. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα $\mathbf {x}$ και $\mathbf {y}$ είναι συγγραμικά.

Η ανισότητα ισχύει για κάθε συνάρτηση $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ που ικανοποιεί τις συνθήκες του εσωτερικού γινομένου και επομένως δίνει ως πόρισμα πολλές ανισότητες. Για παράδειγμα, για $V=\mathbb {R} ^{n}$ και το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο

$\textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i},$

η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε $(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ και $(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ισχύει ότι

$(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n})^{2}\leq (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}).$

Διατύπωση

Μία συνάρτηση $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ είναι εσωτερικό γινόμενο ενός διανυσματικού χώρου $V$ με σώμα $\mathbb {F}$ (για $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ ή $\mathbb {F} =\mathbb {C}$), αν ικανοποιεί τις εξής τρεις συνθήκες:

• $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle >0$ για κάθε $\mathbf {x} \in V$ με $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$.
• $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$ για κάθε $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$.
• $\langle a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,\mathbf {z} \rangle =a\langle \mathbf {x} ,\mathbf {z} \rangle +b\langle \mathbf {y} ,\mathbf {z} \rangle$ για κάθε $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$ και $a,b\in \mathbb {F}$.

H ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$

$|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ,$

όπου $\textstyle \lVert \mathbf {x} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$ και $\textstyle \lVert \mathbf {y} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}$ και ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα $\mathbf {x}$ και $\mathbf {y}$ είναι συγγραμικά, δηλαδή $\mathbf {x} =\lambda \mathbf {y}$ για κάποιο $\lambda \in \mathbb {F}$.

Απόδειξη

Υπάρχουν πολλές αποδείξεις για αυτή την ανισότητα. Παρακάτω δίνεται μία απόδειξη που δουλεύει μόνο για πραγματικούς χώρους και μία που δουλεύει για κάθε διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο.

Απόδειξη για πραγματικούς χώρους

Έστω $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$. Θεωρούμε το διάνυσμα $\mathbf {z} =\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y}$ για τυχόν $\lambda \in \mathbb {R}$. Από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου

$\langle \mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \rangle \geq 0$.

Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου

${\begin{aligned}0&\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}-2\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\lambda ^{2}\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}.\end{aligned}}$

Όταν $\lVert \mathbf {y} \rVert >0$ (δηλαδή όταν $\mathbf {y} \neq \mathbf {0}$) τo δεξί μέλος είναι ένα τριώνυμο του $\lambda$ και για να είναι πάντα μη-αρνητικό πρέπει να έχει διακρίνουσα $\Delta \leq 0$. Επομένως,

$\Delta =4\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ^{2}-4\cdot \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}\cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\leq 0$.

Αναδιατάσσοντας και παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη,

$|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert$,

που είναι η ζητούμενη ανισότητα. Επομένως, μένει να ελέγξουμε την περίπτωση $\mathbf {y} =\mathbf {0}$, η οποία προκύπτει άμεσα καθώς και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν.

Γενική απόδειξη

Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι για κάθετα διανύσματα $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$, δηλαδή με $\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0$, ισχύει ότι

$\lVert \mathbf {u} +\mathbf {v} \rVert ^{2}=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}.$

Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς για κάθε $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$. Αν $\lVert \mathbf {y} \rVert =0$, τότε $\mathbf {y} =\mathbf {0}$ και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν, επομένως ισχύει άμεσα. Διαφορετικά, θεωρούμε το διάνυσμα

$\mathbf {z} =\mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \in V.$

Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο $\mathbf {y}$, καθώς

${\begin{aligned}\langle \mathbf {z} ,\mathbf {y} \rangle &=\left\langle \mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} ,\mathbf {y} \right\rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0.\end{aligned}}$

Επομένως,

$\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}=\left\|\mathbf {z} +{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+\left\|{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+{\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\geq {\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}.$

(1)

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ζητούμενη ανισότητα

$\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}\cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\geq |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |.$

Επίσης, η ισότητα από την (1) ισχύει αν και μόνο αν, $\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}=0$ δηλαδή ανν

$\mathbf {z} =\mathbf {0} \Leftrightarrow \mathbf {x} ={\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y}$,

δηλαδή ανν τα διανύσματα είναι συγγραμικά.

Πορίσματα

Τριγωνική ανισότητα

Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει την τριγωνική ανισότητα σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο. Θεωρούμε $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$, τότε

${\begin{aligned}\lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}&=\langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\mathrm {Re} (\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle )+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2},\end{aligned}}$

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό $z\in \mathbb {C}$ το πραγματικό του μέρος είναι μικρότερο από την απόλυτη τιμή του, $\mathrm {Re} (z)\leq |z|$. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,

$\lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}=(\lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert )^{2}.$

Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη, καθώς είναι μη-αρνητικά, λαμβάνουμε

$\lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert \leq \lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert .$

Ειδικές περιπτώσεις

Ευκλείδειος χώρος

Για το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο

$\textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i},$

η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε $(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ και $(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ισχύει ότι

$(x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n})^{2}\leq (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}).$

Ανισότητα με ολοκληρώματα

Για το εσωτερικό γινόμενο δύο συναρτήσεων $f,g$ που είναι ολοκληρώσιμες στο $[a,b]$ που ορίζεται ως

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx,$

η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx\leq \left(\int _{a}^{b}f^{2}(x)\ dx\right)\cdot \left(\int _{a}^{b}g^{2}(x)\ dx\right).$

Η ανισότητα αυτή αναφέρεται ως ανισότητα Μπουνιακοφκι-Σβαρτς.

Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου που λέει ότι για κάθε $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{+}$

${\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}},$

μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση της ανισότητας Κωσύ-Σβρατς.

Εφαρμογές

Θεωρία πιθανοτήτων

Στην θεωρία πιθανοτήτων, για δύο τυχαίες μεταβλητές $X,Y$, η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι

$(\operatorname {E} (XY))^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (Y^{2}),$

με την ισότητα να ισχύει αν $\Pr(aX=bY)=1$ για κάποια $a,b\in \mathbb {R}$.

Εφαρμόζοντας την ανισότητα αυτή στις τυχαίες μεταβλητές $X'=X-\operatorname {E} (X)$ και $Y'=Y-\operatorname {E} (Y)$, λαμβάνουμε ότι ο συντελεστής συσχέτισης ικανοποιεί

$-1\leq \rho (X,Y)\leq 1,$

καθώς

$\rho (X,Y)={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\operatorname {Var} (X)\cdot \operatorname {Var} (Y)}}={\frac {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))(Y-\operatorname {E} (Y)))}{\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y-\operatorname {E} (Y))^{2})}}={\frac {\operatorname {E} (X'Y')}{\operatorname {E} ((X')^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y')^{2})}}.$

Γεωμετρία

Στον Ευκλείδειο χώρο $\mathbb {R} ^{2}$, για δύο διανύσματα $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ και $\theta$ την γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων, ισχύει ότι

$\cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}$.

Σε $n\geq 3$ η γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in \mathbb {R} ^{n}$ ορίζεται από τον παραπάνω τύπο. Δηλαδή η γωνία $\theta$ μεταξύ του $\mathbf {v} _{1}$ και $\mathbf {v} _{2}$ ορίζεται ως

$\theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}\right)$.

Για να έχει νόημα αυτός ο ορισμός, πρέπει

${\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}\in [-1,1],$

το οποίο προκύπτει από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς.

Ιστορία

Η ανισότητα για το $\mathbb {R} ^{n}$ και το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο εμφανίζεται σε εργασία του Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Η ανισότητα για τα ολοκληρώματα εμφανίζεται με την μοντέρνα της μορφή σε εργασία του Μπουνιακόφσκι. Η ανισότητα για δύο ολοκληρώματα εμφανίζεται σε εργασία του Χέρμαν Σβαρτς και κάνει χρήση της απόδειξης που γενικεύεται για κάθε πραγματικό διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο. Διάφορες εργασίες κοιτάνε την ιστορία αυτής της ανισότητας και μελετούν τις γενικεύσεις της.