Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség

A matematikában a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség (illetve angol nyelvterületen Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség, az orosz matematikai irodalomban pedig Cauchy–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség) Augustin Louis Cauchyról, Hermann Amandus Schwarzról és Viktor Jakovlevics Bunyakovszkijról elnevezett egyenlőtlenség, mely gyakran használatos a skalárszorzatos terek elméletében, a végtelen sorok és szorzatok integrálásának elméletében és a valószínűség-számításban.

Legáltalánosabb formában a (valós vagy komplex számtest feletti) V skalárszorzatos vektortér tetszőleges x és y elemének <x,y> skaláris szorzata abszolútértékének felső becslésére szolgál:

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .$

Megjegyzendő, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x és y lineárisan összefüggő.

Az absztrakt tétel bizonyítása

Skalárszorzatos terekben az alábbi kitüntetett norma vezethető be:

$||x||={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

Ezt a jelölést használni is fogjuk. Minthogy az egyenlőtlenség az y=0 esetben fennáll, feltehetjük, hogy <y, y> nem nulla. Legyen λ tetszőleges valós (vagy komplex) szám. Ekkor

$0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle$

$=\langle x,x\rangle -\lambda \langle x,y\rangle -{\overline {\lambda }}\langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .$

(a „λ felülvonás” a komplex esetben használandó). Mivel ez minden λ-ra teljesül, ezért a

$\lambda =\langle y,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}$

speciális esetben is igaz, ahonnan kapjuk, hogy

$0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}$

amely akkor és csak akkor teljesül, ha

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

vagy másként:

${\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|.$

QED

Az egyenlőtlenség speciális alakjai

A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség, attól függően, hogy a V skalárszorzatos tér mi, speciális alakot ölthet.

A valós szám n-esek tere

Az Rⁿ euklideszi vektortér esetén (ezt az algebrai megközelítés miatt diszkrét esetnek is nevezhetjük) az állítás a következőképpen néz ki.

Tétel. Legyen $a_{1},\dots ,a_{n}$ és $b_{1},\dots ,b_{n}$ valós számok véges sorozatai. Ekkor

$a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\leq {\sqrt {a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}{\sqrt {b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}}}$

(és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha valamelyik sorozat „többszöröse” a másiknak, azaz például $b_{1}=ca_{1},\dots ,b_{n}=ca_{n}$ valamilyen c valós számra).

Első bizonyítás. Ha tehát $a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}$ valós számok, akkor minden valós x-re

$(a_{i}x-b_{i})^{2}=a_{i}^{2}x^{2}-2a_{i}b_{i}x+b_{i}^{2}\geq 0$

teljesül. Ezeket az egyenlőtlenségeket $i=1,\dots ,n$-re összeadva azt kapjuk, hogy minden valós x-re igaz lesz

$(a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+\cdots a_{n}b_{n})x+(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})\geq 0.$

Ez csak úgy lehet, ha a szereplő másodfokú polinom diszkriminánsa nempozitív, azaz

$4(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2}-4(a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})\leq 0$

amiből átrendezéssel adódik az egyenlőtlenség.

Az egyenlőség esete triviális, hiszen ekkor c-t kiemelve, mindkét oldalon az a_i számok négyzetösszegét kapjuk. QED

Második bizonyítás. Felhasználva a (kiszorzással látható)

$(\sum a_{i}^{2})(\sum b_{i}^{2})-(\sum a_{i}b_{i})^{2}=\sum _{i<j}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$

azonosságot, az egyenlőtlenség azonnal adódik.

Megjegyzés. Természetesen ezesetben nem kell feltétlenül az Rⁿ-beli skalárszorzásként felfognunk az egyenlőtlenség baloldalát. Tekinthetünk az egyenlőtlenségre úgy is, mint tetszőleges a₁, a₂, …, a_n illetve b₁, b₂, …, b_n valós számokra vonatkozó relációra.

A négyzetesen integrálható valós függvények terében

A négyzetesen integrálható valós-valós függvények terének (L²) esetén az analízis egy fontos egyenlőtlenségét kapjuk (nevezhetjük így ezt az egyenlőtlenség folytonos alakjának). Szemléletesség kedvéért megjegyezzük, hogy ebben az alakban az összeadás helyett integrálás áll, mely valóban azt sugallja, hogy analízisban alkalmazott variáns úgy keletkezik az előző, diszkrét esetből, hogy a véges összeadást, annak végtelen határátmenetével, az integrállal helyettesítjük.

Tétel. Ha f és g folytonos valós függvények az $[a,b]$ intervallumon, akkor

$\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq {\sqrt {\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx}}{\sqrt {\int _{a}^{b}g^{2}(x)dx}}$

(és egyenlőség csak akkor áll, ha valamelyik függvény többszöröse a másiknak: van olyan c szám, hogy $g(x)=cf(x)$ minden $a\leq x\leq b$-re, vagy fordítva).

A háromdimenziós euklideszi tér

Amennyiben x és y a háromdimenziós koordinátatér vektorait jelöli, akkor a fenti második bizonyítás a következő egyenlőséget adja:

Tétel. Ha x és y az R³ két vektora, akkor

$|x|^{2}|y|^{2}=|x\cdot y|^{2}+|x\times y|^{2}$

egyenlőség teljesül, ahol $x\cdot y$ a két vektor skaláris szorzata, $x\times y$ pedig a két vektor vektoriális szorzata.

Bizonyítás. A skaláris és vektoriális szorzás geometriai jellemzéséből adódik, hogy ha α az x és y vektor hajlásszöge, akkor az |x|²|y|² szorzat így írható:

$|x|^{2}|y|^{2}=|x|^{2}|y|^{2}(\,cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha )=|x|^{2}|y|^{2}\,cos^{2}\alpha +|x|^{2}|y|^{2}sin^{2}\alpha$

ahol az utolsó egyenlőség után az első tag a skaláris szorzat, a második tag a vektoriális szorzat nagyságának négyzete. Itt tehát felhasználtuk, hogy

$cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha =$ 1

(mely lényegében a Pithagorasz-tétel). QED

Megjegyzés. Ebben az esetben jól látható, hogy az egyenlőtlenség lényegében ekvivalens az elemi geometria azon tényével, hogy derékszögű háromszögben „az átfogó hosszabb, mint bármelyik befogó”. A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség tehát a skalárszorzatos terek egy alapvető jelentőségű összefüggésére mutat rá. Sőt, magának az egyenlőtlenségnek a következménye, hogy ezekben a terekben bevezethető a vektorok hajlásszögének fogalma.

Általánosítása

Az egyenlőtlenség általános formája a Hölder-egyenlőtlenség: ha $a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}$ nemnegatív valós számok, $p,q>1$, továbbá ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ teljesül, akkor

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{q}\right)^{1/q}.$

Története

A sorozatokra vonatkozó variációt Cauchy 1821-ben publikálta Cours d'Analyse Algébrique című könyvében. Az integrálos verziót Bunyakovszkij 1859-ben a Szentpétervári Tudományos Akadémia Közleményeiben publikálta, hivatkozva egykori tanára, Cauchy egyenlőtlenségére, azt jólismertnek nevezve, abból vezetve le. E folyóirat úgy látszik nem jutott el Göttingába, mert az ott dolgozó Schwarz 1885-ben újra bebizonyította az integrálos formát.